§ 4.5 Распределение стьюдента.

f(x)

PГ

PC(n=10)

PC(n=2)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 t

Выборочные характеристики зависят от числа наблюдений, а следовательно, относятся к величинам случайным, хотя более устойчивым, чем отдельно взятые варианты. Так средняя арифметическая, вычисленная из 15 - 20 наблюдений, не равна средней, вычисленной из 100 или большего числа испытаний. В связи с этим возникает необходимость оценить в каждом конкретном случае, насколько точно определены средние показатели и насколько они отстоят от своего истин­ного значения, т.е. от соответствующих показателей генеральной совокупности. Этими вопросами занимался английский математик Вильям Госсет, который в 1908 году опубликовал свою работу о распределении под псевдо­нимом Стьюдент, которое в настоящее время известно как распределение Стьюдента (PC) (Рис. 4.6).

Распределение Гаусса (РГ) хорошо описывает отклонение измеряемой величины в эксперименте от истинной при большом количестве повторных измерений. На практике нередко обходятся двумя-тремя измерениями. Ре­зультаты образуют очень малую выборку. Нормальное распределение при анализе ошибок здесь уже не пригодно. В этом случае распределение Стью­дента (PC) гораздо лучше описывает получаемые результаты. На основе зна­чений x_i полученных при измерении, коэффициент определят случайную величину:

(4.23)

где -доверительная вероятность, n- число измерений, - среднеквадратичная погрешность. Тогда при нормальном распределении плотность распределения вероятности выражается формулой Стьюдента:

(4.24)

где Г(х)- гамма-функция:

(4.25)

Функция - четная.

Вероятность, что измеряемая величина х попадет в заданный интервал, определяется интегралом:

Если указана вероятность того, что истинное значение измеряемой величины х попадает в доверительный интервал, то по количеству измерений можно определить коэффициент Стьюдента :

(4.26)

Исходя из этого определяют погрешность

(4.27)

Результат измерений записывают в виде:

(4.28)

с указанной доверительной вероятностью и числом измерений n.

Для нахождения коэффициентов Стьюдента обычно используются таблицы, приведенные в /1.7/. В случае и А.Е. Шелест /13/ рекомендует для определения следующую аппроксимацию:

(4.29)

В случае 0,95 в случае 0,99

Таким образом, по приведенным данным коэффициент Стьюдента достаточно быстро можно определить с использованием ЭВМ в автоматическом режиме. Ниже представлен вид (графический и аналитический) и числовые характеристики основных законов распределения, используемых в задачах обработки и планирования эксперимента.

а) РАВНОВЕРОЯТНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ (рис. 4.7)

0 при х<a

f(x)= при

0 при х>b

f(x) f(x)

x x

Рис. 4.7 Равновероятный закон Рис. 4.8 Закон распределения

распределения Симпсона

б) ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СИМПСОНА (рис.4.8)

в) ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ (рис. 4.9)

f(x) f(x)

x x

Рис. 4.9 Экспоненциальный закон Рис. 4.10 Закон распределения

распределения

г) ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

где -функция

Примечание: если нормально распределенные независимые случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и единичными дисперсиями, то сумма квадратов этих величин распределена по закону с f=n степенями свободы. Если же эти величины связаны одним линейным соотношением, например: , то число степеней свободы f=n-1.

д) БИНОМИНАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ (рис.4.11)

где q- вероятность появления А в одном опыте, P(x=m)- вероятность появления события А ровно m раз в n опытах.

P (x=m)

x x

Рис. 4.11 Биноминальное Рис. 4.12 Закон распределения

распределение Пуассона

е) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА (рис. 4.12)

При большом числе испытаний n и малой вероятности q появления события А для вычисления биноминальных вероятностей можно воспользоваться формулой Пуассона, положив :

при