Интегрирование по частям.

Пусть u и - дифференцируемые функции от х. Тогда , отсюда

Интегрируя обе части последнего уравнения в пределах от а до b, получим:

(8)

Выражение (8) представляет собой формулу интегрирования по частям.

Пример 1: вычислить

Решение: положим , тогда и Используя формулу (8), получим:

§5.4 Некоторые сведения о рядах и их использование в процессе интегрирования.

Пусть дана последовательность чисел u₁,u₂,u₃,…,u_n,… Числовым рядом называется выражение, представляющее собой последовательность чисел, т.е. выражение следующего вида:

u₁,u₂,u₃,…,u_n,… (9)

Числа u₁,u₂,…,u_n,… называются членами ряда; в частности u₁- первый член, u₂- второй член,…, u_n- n-й или общий член ряда.

ряд считается заданным, если известен общий член ряда u_n, как функция его номера n: Пример рядов:

общий член ряда ;

общий член ряда

Сумма S_n первых n ряда называется n-й частичной суммой ряда:

(10)

Ряд называется функциональным, если его членами являются не числа, а функции, определенные в некоторой области изменения аргумента х,

Например,

или

(11)

Придавая х какое-либо значение х₀ из области определения функции u_n(x), получим числовой ряд

(12)

Этот ряд может сходиться или расходиться. Если он сходится, то точка x_о называется точкой сходимости функционального ряда. Если при x = х₀ расходится, то точка х₀ называется точкой расходимости ряда. Для одних точек, взятых из области определения функции u_n (х), ряд может схо­диться, а для других - расходиться.

Важным частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды.

Степенным рядом называется ряд вида:

(13)

где коэффициенты ряда a₀,a_l,..._,a_n,... - постоянные. В частности, при x =0 степенной ряд имеет вид:

(14)

Если функция f(x) в точке х₀ имеет производные до n — го порядка включительно, то ряд имеет следующий вид:

(15)

полученный ряд (15) называется рядом Тейлора для функции f(x).

В частном случае, при х₀=0 ряд принимает вид:

(16)

Этот ряд называется рядом Маклорена для функции f(x).

Тригонометрический ряд:

называется рядом Фурье, соответствующим функции y=f(x), коэффициенты которого определяются по формуле Эйлера-Фурье:

Таким образом, если периодическая функция у = f(x) является суммой правильно сходящегося тригонометрического ряда, то этот ряд является ее рядом Фурье.

Если в качестве независимой переменной рассматривается время, то опи­сание периодических процессов осуществляется с использованием уравнения Фурье вида:

Функция f(x) называется четной, если для любых х из ее области определения выполняется равенство f(-x) = f(x) . Функция f(x) называ­ется нечетной, если f(-x) = -f(x).

Если в ряде Фурье разлагается нечетная функция f(x), то произведе­ние f(x)сoskx - нечетная функция, a f(x) sin кх - четная функция. Сле­довательно,

т.е. ряд Фурье нечетной функции содержит «только синусы».

Если в ряд Фурье разлагается четная функция, то произведение f(x)sinkx -нечетная функция, a f(x) cos kx - четная функция и, следова­тельно,

т.е. ряд Фурье четной функции содержит « только косинусы».

Пример 1. периодическая функция кусочно-монотонная и ограничена на отрезке Функцию f(x) разложить в ряд Фурье.

Таким образом, получим ряд:

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел S по­следовательности его частичных сумм S_n при неограниченном возрастании номера суммы, т.е.

Предел S последовательности частичных сумм сходящегося ряда называется суммой ряда.

Если S является суммой сходящегося ряда

то пишут

Если последовательность частичных сумм ряда не имеет предела, то ряд на­зывается расходящимся. Расходящийся ряд суммы не имеет.