§ 1.2 Размещения

Пусть число предметов, из которых мы составляем различные соедине­ния, равно трем (например, 3 картины), обозначим эти предметы а, Ь, с. Из них можно составить соединения;

по одному: а, Ь, с ;

по два: ab, ас, be, ba, ca, cb;

по три: abc, acb, bac, bca, cab, cba

Возьмем из этих соединений соединения по 2. Они отличаются одно от другого либо предметами, например ab, и ас, либо порядком предметов, на­пример ab, и Ьа, но число предметов в них одно и то же. Такие соединения называются размещениями из трех элементов по два.

Размещениями из m элементов по n называются такие соединения, из которых каждое содержит n элементов, взятых из данных m элемен­тов, и которые отличаются одно от другого или элементами, или поряд­ком элементов (предполагается, что n m). Так, написанные выше соеди­нения по 3 будут размещения из трех элементов по 3 (различаются только порядком); соединения по 2 будут размещения из трех элементов по 2 (разли­чаются или предметами, или порядком).

Размещения из данных элементов могут быть по 1, по 2, по 3... и, нако­нец, по m.

Определим число всевозможных размещений, которые можно составить из m элементов, не оставляя самих размещений. Число это принято обозна­чать так: (читается А из m по n). Чтобы найти это число, рассмотрим прием, посредством которого можно составлять всевозможные размещения.

Пусть нам дано m элементов: а, b, с...к, 1.Сначала составим из них все размещения по 1. Их, очевидно, будет m. Значит, . Теперь составим все размещения по 2. Для этого к каждому из ранее составленных размеще­ний по 1 приставим последовательно все оставшиеся m - 1 элементов по 1. Так, к элементу а приставим последовательно оставшиеся элементы: b, с...к, 1; к элементу b приставим последовательно оставшиеся элементы: а, с,...к, 1 и т.д. Тогда получим следующие размещения по 2:

a b, ac, ad… ak, al; m-1 размещений

ba, bc, bd… bk, bl; m-1 размещений

m строк ca, cb, cd… ck, cl; m-1 размещений

………………………………………...

la, lb, lc… lk; m-1 размещений

Так как всех элементов m, то из каждого размещения по одному элементу мы получим m - 1 размещений по 2, а всего их будет (m - 1)m. Очевид­но, что других размещений по 2 быть не может.

Значит

А²_т=т(т-1).

Чтобы составить теперь размещения по 3, берем каждое из составленных сейчас размещений по 2 и приставляем к нему последовательно по одному все m - 2 оставшихся элементов. Тогда получим следующие размещения по 3:

a bc, abd,… abk, abl m-2 размещений

acb, acd,… ack, acl m-2 размещений

(m-1)m строк ………………………………………..

lka, lkb,… m-2 размещений

Так как число всех размещений по 2 равно m (m - 1) и из каждого полу­чается (m - 2) размещения по 3, то из всех таких размещений окажется:

(m - 2)[m(m - l)]=m(m - l)(m - 2).

Следовательно:

A³_m=m(m-1)(m-2)

Подобно этому получим

Таким образом, число размещений m элементов по n можно определить выражением:

(1.1)

Можно сказать, что число всевозможных размещений из m элементов

по n равно произведению n последовательных целых чисел, из которых

наибольшее есть m.

Например:

и т.п.