Признак Даламбера.
Если для знакоположительного ряда и1 +и2 +и3 +... + ип +... существует предел отношения последующего члена к предыдущему при неограниченном возрастании номера члена n, т.е.
при p < 1 ряд сходится, а при p > 1 ряд расходится.
Разложение в степенной ряд функции.
Находим
производные:
При х=0
имеем:
Напишем ряд Маклорена для функции f(x)=ex, воспользовавшись формулой (16):
(17)
Определим область сходимости этого ряда, применяя признак Даламбера:
Следовательно,
для любого
т.е. ряд (17) сходится абсолютно на всей
числовой оси.
Понятие об интегралах, не берущихся в элементарных функциях.
Производная от
любой элементарной функции есть функция
элементарная. Другое дело операция
обратная дифференцированию, -
интегрирование. Можно привести
многочисленные параметры таких
элементарных функций, первообразная
от которых хотя и существует, но не
является элементарной функцией. Так,
например, хотя по теореме существования
для функций
существуют первообразные, но они не
выражаются в элементарных функциях.
Несмотря на это, все эти преобразования
хорошо изучены и для них составлены
подробные таблицы, помогающие практически
использовать эти функции. В дальнейшем
мы познакомимся с методами вычисления
значений таких функций.
Так, например,
большое значение в различных приложениях
играет первообразная ф(х)
от функции
,
удовлетворяющая дополнительному условию
ф(0)
= 0. Эта функция, в частности, встречается
в теории вероятностей и называется
интегралом вероятностей. Для нее
составлены таблицы для различных
значений аргумента х.
Если первообразная для некоторой функции не является элементарной функцией, то говорят, что интеграл не берется в элементарных функциях.
Приближенное вычисление интегралов методом разложения функции в ряд.
Поясним сущность метода примером.
Пример: вычислить
определенный интеграл
с точностью до 0,0001.
Решение: применить
для вычисления этого интеграла формулу
Ньютона – Лейбница мы не можем, так как
первообразная для
хотя и существует, но не выражается в
элементарных функциях. Поэтому разложим
подынтегральную функцию
в степенной ряд:
(18)
Этот ряд сходится
на всей числовой оси. Следовательно,
его можно почленно интегрировать на
любом сегменте и, в частности, на сегменте
:
Искомый интеграл
равен сумме знакочередующегося ряда.
Так как
а
то с точностью до 0,0001 на основании
правила оценки погрешности в случае
знакочередующегося ряда имеем:
Итак,
§5.5 Несобственные интегралы.
Определение интеграла было дано в предположении, что областью интегрирования является конечный сегмент [a,b]. Если же предположить, что область интегрирования бесконечна, например, является интервалом [а, ∞), то даже для непрерывной функции f(x) обычное определение интеграла становится неприемлемым. В данном случае нельзя говорить об интегральных суммах, так как при любом разбиении интервала [a,∞) на конечное число частей одна из этих частей будет бесконечной. Обобщим теперь понятие определенного интеграла на случай бесконечности области интегрирования.
Рассмотрим пример.
Функция непрерывна на бесконечном интервале [1,+∞). Поэтому на любом сегменте [1,b], где b>1, существует интеграл
который при b
0
имеет предел, равный единице. Этот предел
называют несобственным интегралом от
функции
и обозначают символом
Таким образом,
Обобщая этот
пример, рассмотрим функцию у
= f(x),
непрерывную на бесконечном интервале
.
Для любого конечного сегмента [а,
b]
интеграл
существует.
Если интеграл
стремится к конечному пределу при
неограниченном возрастании b,
то этот предел называют несобственным
интегралом с бесконечной верхней
границей от функции f(x)
и обозначают символом
Таким образом,
(19)
В этом случае говорят, что несобственный интеграл существует или сходится. Если указанный предел не существует (в частности, если он бесконечен), то говорят, что интеграл не существует или расходится.
Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечной нижней границей:
(20)
Несобственный интеграл с двумя бесконечными границами определяется формулой:
(20 а)
где с- любая фиксированная точка оси Ох.
Таким образом,
интеграл
существует только тогда, когда существует
каждый из интегралов
и
Из наших определений непосредственно видно, что несобственный интеграл является не пределом интегральных сумм, а пределом определенного интеграла с переменной границей интегрирования.
Заметим, что если
функция положительна и непрерывна на
бесконечном интеграле [a,∞)
и если
существует, то мы можем его трактовать
как площадь бесконечным интервалом оси
Ох
[a,∞)
и прямой х=а.
Пример 1:
исследовать,
для каких значений а>0
сходится интеграл
Решение: рассмотрим интеграл
Если
1,
то
Если же
,
то
Если
,
то
и поэтому
Следовательно, в этом случае
Если
,
то имеем
Таким образом,
при
сходится, а при
расходится.
Пример 2: исследовать
на сходимость интеграл
Решение: по формуле (20 а), в которой полагаем с=0, получим
Но
Аналогично можно
сказать, что
Поэтому
