§ 3.2 Геометрический смысл дифференциала функции.

Положим, что кривая, изображенная на рисунке 3.1, является графиком функции у = f(x) . Возьмем на этой кривой точку М(х, у) и опустим из нее перпендикуляр МК на ось абсцисс. Получим: ОК = х, КМ = у.

Придав абсциссе х приращение KP = x = dx и восстановив к оси абс­цисс перпендикуляр в точке Р , получим

Допустим, что касательная МТ к этой кривой в точке М(х, у) образует с положительным направлением оси абсцисс угол .

y

M₁

T

dy

M(x,y) P₁

0 K P x

Рис. 3.1

Нам известно, что угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у = f(х) в точке М(х, у), равен производной этой функции при данном значении х, т.е.

Проведем прямую МР₁ параллельно оси абсцисс. Тогда отрезок Р₁М₁ будет приращением у ординаты графика функции у = f(х), а отрезок Р₁Т - приращением ординаты касательной МТ, когда абсцисса х получает приращение х.

Из прямоугольного треугольника МР₁Т получим Р₁Т – MP₁tg .

Это равенство можно переписать в другом виде, приняв во внимание, что МР₁ =KP = dx,tg = k = f'(x) = y'_x.

Получим P_lT = y'_xdx. Так как y'_xdx = dy. Следовательно, P_lT = y'_xdx = dy.

Это равенство показывает, что дифференциал функции у = f(x) геомет­рически представляет собой приращение ординаты касательной к графику этой функции в точке с абсциссой х при переходе от точки касания в точку с абсциссой x + dx.

Из рис.3.1 видно, что P_lM_l=P_lT + ТМ₁, или y = dy + ТМ₁.

Сопоставление этого равенства с равенством (1) из § 3.1 приводит к за­ключению, что

ТМ₁ =

т.е. отрезок ТМ₁ изображает ту часть приращения функции, которая при является бесконечно малой высшего порядка малости по сравнению с х.

В данном случае y>dy, так как y-dy = x =ТМ₁ > 0.

§ 3.3 Дифференциал второго порядка.

Дифференциал функции у = f(x) является, как и сама функция, функци­ей от x. Поэтому можно взять дифференциал дифференциала. Дифференци­ал дифференциала функции у = f(x) называется дифференциалом второго порядка и обозначается символом d²y (читается «дэ два игрек»).

Зададимся целью вывести формулу, выражающую дифференциал второго порядка. Нам известно, что

dy=y'_xdx,

где dx является произвольным приращением аргумента и не зависит от х. Согласно определению, получим

Рассматривая dx как постоянный множитель, не зависящий от х, по формуле найдем

, или

(8)

Итак, дифференциал второго порядка равен произведению второй произ­водной функции у = f(x) на квадрат дифференциала аргумента.

Разделив обе части равенства (8) на dx² , находим второй символ для обозначения второй производной:

или

Символ читается так: «дэ два игрек по дэ икс квадрат».

Пример 1: дана функция . Найти дифференциал второго порядка.

Решение:

1) находим вторую производную данной функции:

2) по формуле (8) находим дифференциал второго порядка:

Пример 2: дана функция . Найти .

Решение:

1) ;

2)