- •Лекция № 1. Вводная лекция
- •1.1Материя и формы движения материи. Физика, ее предмет и методы исследования.
- •Диаграмма иерархической организации материи
- •1.2. Биофизика. Значение физики и биофизики для биологии и медицины.
- •1.3. Связь физики с другими естественными науками. Содержание медицинской и биологической физики.
- •Лекция № 2. Системный подход и системный анализ в физике и биофизике
- •2.1. Понятие системы. Элементы системы и виды связи между ними
- •2.2. Кибернетические системы.
- •2.3.Системный анализ.
- •Система: законы поведения, свойства
- •Лекция № 3 методы численного анализа причинно-следственных связей.
- •Элементарный метод.
- •Метод регрессии
- •3.3 Метод корреляции.
- •Анализ с использованием показателей эластичности.
- •Лекция № 4. Моделирование.
- •Модели и их назначение.
- •Виды моделей.
- •4.3.Основные этапы математического моделирования.
- •Высшая математика. Занятие № 1. Теория пределов.
- •§ 1.1 Бесконечно малая и бесконечно большая величины.
- •§ 1.2. Предел переменной величины.
- •§ 1.3. Понятие о пределе функции. Некоторые приемы нахождения пределов функций.
- •Упражнения
- •Занятие №2. Производная функции
- •§ 2.1 Производная функции и метод ее нахождения
- •§ 2.2 Физический смысл производной функции.
- •2.3 Геометрический смысл производной.
- •§ 2.4 Производные второго и высших порядков. Механический смысл второй производной.
- •§ 2.5 Правило нахождения максимума и минимума функции.
- •§ 2.6 Построений графиков функций
- •Упражнения.
- •Занятие №3. Дифференциал функции.
- •§3.1 Дифференциал функции как главная часть приращения функции.
- •§ 3.2 Геометрический смысл дифференциала функции.
- •§ 3.3 Дифференциал второго порядка.
- •§ 3.4 Приложения дифференциала функции к приближенным вычислениям.
- •§ 3.5 Функции многих переменных. Предел функции.
- •§ 3.6 Частные производные. Полный дифференциал функции нескольких переменных.
- •Упражнения
- •Занятие №4. Неопределенный интервал.
- •§ 4.1 Понятие о неопределенном интеграле.
- •§ 4.2 Геометрический смысл неопределенного интеграла.
- •§ 4.3 Основные свойства неопределенного интеграла.
- •§ 4.4 Непосредственное интегрирование.
- •§ 4.5 Основные методы интегрирования.
- •Интегрирование методом разложения с использованием элементарных математических операций.
- •Интегрирование методом замены переменной.
- •Интегрирование по частям.
- •Упражнения.
- •2)Найти интегралы методом подстановки:
- •3.Найти интегралы методом интегрирования по частям:
- •§ 5.1 Определенный интеграл и его геометрический смысл.
- •Простейшие свойства определенного интеграла.
- •§ 5.2 Формула ньютона-лейбница.
- •§5.3. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •Интегрирование по частям.
- •§5.4 Некоторые сведения о рядах и их использование в процессе интегрирования.
- •Признак Даламбера.
- •Разложение в степенной ряд функции.
- •Понятие об интегралах, не берущихся в элементарных функциях.
- •Приближенное вычисление интегралов методом разложения функции в ряд.
- •§5.5 Несобственные интегралы.
- •§ 5.6 Приближенные методы вычисления определенных интегралов.
- •Метод средних прямоугольников.
- •Метод трапеций.
- •Метод параболических трапеций (метод Симпсона).
- •§5.7 Приложения определенного интеграла Вычисление площади в декартовых координатах.
- •Объем тела вращения.
- •Длина дуги кривой.
- •Площадь поверхности тела вращения.
- •Упражнения.
- •Занятие № 6. Основные сведения о дифференциальных уравнениях.
- •§ 6.1 Общие понятия о дифференциальных уравнениях и их определение.
- •§6.2 Дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными и разделяющимимся переменными.
- •§6.3 Однородные дифференциальные уравенния первого порядка.
- •§6.4 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •§ 6.5 Дифференциальные уравнения второго порядка уравнения вида
- •§ 6.6 Комплексные числа и их алгебраическая форма.
- •§ 6. 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •Рассмотрим эти случаи по порядку.
- •Упражнения.
- •Задачи.
- •Математическая статистика. Занятие № 1. Элементы комбинаторики. Бином ньютона.
- •§ 1.1. Множества
- •§ 1.2 Размещения
- •§ 1.3. Перестановки.
- •§1.4. Сочетания
- •1.5. Бином ньютона
- •Свойства разложения степени бинома.
- •Упражнения.
- •Занятие №2. Элементы теории вероятностей.
- •§ 2.1. Событие. Вероятность события.
- •§ 2.2. Основные теоремы теории вероятностей.
- •Теорема сложения вероятностей.
- •Теорема умножения вероятностей.
- •Условная вероятность.
- •Формула полной вероятности.
- •§ 2.3. Формула байеса (теорема гипотез)
- •§ 2.4. Формула бернулли.
- •§2.5. Теория вероятностей в генетике.
- •Примеры решения задач.
- •Упражнения
- •Занятие № 3 случайные величины и их основные характеристики.
- •§ 3.1. Случайная величина. Функция распределения.
- •Свойства интегральной функции распределения.
- •§ 3.2. Числовые характеристики случайных величин.
- •Характеристики разброса.
- •Моменты. Характеристики формы.
- •Упражнения.
- •Занятие № 4. Законы распределения случайных величин.
- •§ 4.1. Основные задачи математической статистики.
- •§ 4.2. Генеральная совокупность и выборка.
- •§ 4.3. Ряды распределения.
- •§ 4.4. Закон нормального распределения (закон гаусса)
- •§ 4.5 Распределение стьюдента.
- •§4.6. Оценка точности прямых равноточных измерений при малом числе опытов
- •Упражнения
- •Занятие № 5. Временные ряды
- •§ 5.1. Временные ряды и их виды.
- •§5.2. Характеристики динамики как единицы абсолютного и относительного измерения.
- •§5.3. Сущность и формы тренда и приемы выявления тенденции развития.
- •§5.4. Интерполяция и экстраполяция рядов динамики.
- •Контрольные вопросы.
- •Упражнения.
- •Используемая литература.
- •Оглавление
- •Высшая математика
- •Математическая статистика
- •Основы высшей математики и математической статистики
Упражнения.
№ 1. Производится один опыт, в результате которого может появиться или не появиться событие А, вероятность которого равна Р. Рассматривается случайная величина X - число появления события А. Определить ее характеристики: математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение (с.к.о.).
№ 2. Медсестра обслуживает 4 больных. Вероятность того, что в течение часа не потребует внимания медсестры первый больной равна 0,9, второй-0,8, третий - 0,75, четвертый - 0,7. Определить математическое ожидание, диспепсию и с.к.о. числа больных, которые не потребуют внимания медсестры в течение часа.
№ 3. В город N в течение недели прилетает по 1 самолету из трех различных городов и доставляют лекарственные препараты. Вероятность доставки необходимого лекарственного препарата каждым из указанных рейсов равна 0,35. Случайная величина X - число привозов необходимого препарата в течение недели. Определить характеристики величины X -математическое ожидание, дисперсию, с.к.о. и асимметрию.
Занятие № 4. Законы распределения случайных величин.
§ 4.1. Основные задачи математической статистики.
Математические законы теории вероятностей не являются беспредметными абстракциями, лишенными физического содержания. Они представляют собой математическое выражение реальных закономерностей фактически существующих в массовых случайных явлениях природы.
Каждое исследование случайных явлений, выполняемое методами теории вероятностей, прямо или косвенно опирается на экспериментальные данные. Оперируя такими понятиями как события и их вероятности, случайные величины, их законы распределения и числовые характеристики, теория вероятностей дает возможность теоретическим путем определить вероятность одних событий через вероятности других. Такие косвенные методы позволяют значительно экономить время и средства, затрачиваемые на эксперимент, но отнюдь не исключают самого эксперимента. Каждое исследование в области случайных явлений, как бы отвлеченно оно ни было, своими корнями уходит в эксперимент.
Целью каждой науки является, в конечном счете, познание некоторых общих закономерностей, позволяющих предвидеть течение явлений и выбирать рациональные пути поведения в типичных ситуациях. Об этом хорошо выразился Д.И. Менделеев, сказав, что у науки есть лишь две главные конечные цели - предвидение и польза.
Первые работы по математической статистике начались в 18 веке, они были связаны со статистикой народонаселения и с вопросами страхования. В конце 18 века началась серьезная работа по теории ошибок измерений, приведшая в начале 19 века к созданию далеко продвинувших ее основ. Биологические исследования послужили в 19 веке толчком для постановки многочисленных вопросов, приведших в начале 20-го столетия к выделению математической статистики в особую науку, в становлении которой активное участие принимали видные зарубежные ученые (Б.Паскаль, Ферма, Х.Гюйгенс, Я.Бернулли, К.Гаусс и др.) и наши соотечественники (П.Л. Чебышев, А.А. Марков, А.Н. Колмагоров, Е.Е.Слуцкий, Б.В. Гнеденко и др.) Сейчас математическая статистика уже не та, что была 50-60 лет назад, и ее прогресс не прекращается.
Хотелось бы обратить особое внимание на следующий момент, о котором писал А. Бредфорд Хилл в предисловии к своей книге "Основы медицинской статистики" (М. Медгиз.-1958.-с.9): "Статистика представляет собой один из немногих примеров, в которых употребление математических методов или злоупотребление ими может вызвать сильную эмоциональную реакцию в нематематических умах. Это объясняется тем, что статистики при разрешении исследуемых ими проблем пользуются непонятными врачам приемами исследования. Досадно, если изучая проблему методами, освоение которых потребовало много труда, мы узнаем, что наши заключения ставит под сомнение или даже отвергает кто-либо, кто не может самостоятельно воспроизвести наши наблюдения. Для того, чтобы признать, что вина лежит в нас самих требуется больше хладнокровия, чем у нас есть". Из изложенного выше следует, что к математической статистике необходимо подходить серьезно и с соответствующей подготовкой, поскольку она разрабатывает методы, позволяющие по результатам испытаний делать определенные выводы. Таким образом, разработка методов регистрации, описания и анализ экспериментальных данных, полученных в результате наблюдения массовых случайных явлений, составляет предмет специальной науки, называемой математической статистикой.
Все задачи математической статистики касаются вопросов обработки наблюдений над массовыми случайными явлениями, но в зависимости от характера решаемого практического вопроса. Типичными практическими задачами математической статистики являются:
Определение закона распределения случайной величины (или системы случайных величин) по статистическим данным.
Проверка правдоподобия гипотез.
Нахождение неизвестных параметров распределения.