§4.6. Оценка точности прямых равноточных измерений при малом числе опытов

Все измерения, проделанные одним методом и с одинаковой тщательностью, называются равноточечными. Для оценки точности прямых равноточечных измерений необходимо вычислить следующие критерии, перечисленные ниже:

1. Среднее значение случайной величины (выборочное)

(1)

2. Дисперсия

(2)

3. Средняя квадратическая ошибка (стандартное отклонение)

(3)

4. Среднеквадратическое отклонение среднего значения

(4)

5. Точность прямого измерения

(5)

6. Доверительный интервал

или

Задача № 1. Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4. За каждое попадание стрелку засчитывается 5 очков. Построить ряд и многоугольник распределения числа выбитых очков.

Решение: обозначим Х число выбитых очков. Возможные значения величины Х:

Вероятность этих значений находим по теореме о повторении опытов (уравнению Бернулли):

Ряд распределения имеет вид:

	0	5	10	15
	0,216	0,432	0,288	0,064

Многоугольник распределения имеет вид:

P_i

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

x_i

0 5 10 15

Задача № 2. Произведено 500 измерений боковой ошибки наводки при стрельбе с самолета по наземной цели. При этом были получены следующие результаты измерений (в тысячных долях радиана):

Ii	-4;-3	-3;-2	-2;-1	-1;0	0;1	1;2	2;3	3;4
mi	6	25	72	133	120	88	46	10

Здесь I_i- интервалы значений ошибки наводки; m_i- число наблюдений в данном интервале.

Определить вероятность каждого интервала и построить статистический ряд и гистограмму для ошибки наводки.

Решение: Статистическая вероятность каждого интервала ошибки наводки определим выражение :

Ряд распределения имеет вид:

Ii	-4;-3	-3;-3	-2;-1	-1;0	0;1	1;2	2;3	3;4
Pi	0,012	0,050	0,144	0,266	0,240	0,176	0,092	0,020

По результатам статистического ряда гистограмма ошибки наводки будет иметь вид:

Р

х

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

При построении гистограммы по оси абсцисс откладываются интервалы, и на каждом интервале как на основании строится прямоугольник, площадь которого равна статистической вероятности данного интервала, следовательно, высота прямоугольника должна равняться отношению статистической вероятности интервала к его длине. При единичной длине интервала высота прямоугольника равна численно статистической вероятности.

Задача №3. Случайная величина Х подчинена закону распределения, плотность которого задана графически в виде треугольника, показанного на рисунке. Найти выражение для плотности распределения, математическое ожидание, дисперсию, среднее отклонение и асимметрию распределения.

f(x)

x

0 1

Решение: выражение плотности распределения имеет вид:

Пользуясь свойством плотности распределения запишем:

отсюда

,

следовательно, а=2.

Математическое ожидание величины Х:

Дисперсию можно определить через второй начальный момент:

Так как среднее квадратичное отклонение следовательно,

Третий центральный момент М₃ определим через третий и второй начальные моменты, используя уравнение:

Коэффициент асимметрии S_k определим выражением: