Метод параболических трапеций (метод Симпсона).

Этот метод приближенного вычисления определенного интеграла основан на замене графика подынтегральной функции не хордами, как это в методе трапеций, а дугами парабол, оси которых параллельны оси Оу.

Прежде чем излагать этот метод, рассмотрим частный случай, когда кривая, ограничивающая данную криволинейную трапецию, является графиком квадратного трехчлена

Имеет место следующая формула:

(23)

где у_л - ордината кривой в точке х=а (левая ордината);

у_п – ордината кривой в точке x=b (правая ордината);

у_с – ордината кривой в средней точке сегмента [a,b], т.е. в точке (рис.5.3).

Вывод этой формулы сводится к ее непосредственной проверке. Подсчитаем выражение, стоящее в левой части формулы:

Для подсчета выражения, стоящего в правой части формулы (23), найдем предварительно у_л, у_п, у_с:

Подставляем в правую часть формулы (23):

y

y=Ax²+Bx+C

у_л у_с у_п

0 a b x Рис.5.3

y y=f

М₁

М₃ y=Ax2+Bx+C

М₂

0 a b x

Рис. 5.4

Мы видим, что правая и левая части формулы (23) равны между собой, что и доказывает ее справедливость.

Рассмотрим теперь криволинейную трапецию, ограниченную произволь­ной кривой y = f(x) (рис. 5.4). Через точки M₁(x_л;у_л), М₂(х_с,у_с), М₃(х_п;у_п) этой кривой, где проведем вспомогательную параболу у = Ах² + Вх + С. Такую параболу всегда можно провести и при этом только одну.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной вспомогательной пара­болой, приближенно равна площади заданной криволинейной трапеции:

Так согласно формуле (23)

то для произвольной функции y=f(x) имеет место следующее приближенное равенство:

Однако, если сегмент [a, b] достаточно большой, то приближение, да­ваемое формулой (23), будет слишком грубым. Поэтому для того, чтобы получить более точное приближение интеграла поступим следующим образом: сегмент [a,b] разобьем на четное число 2n равных малых сегмен­тов длины Пусть х,, х₂, х₃,..., х_2n-1 - точки деления. Рассмотрим малые сегменты длины

; серединами этих сегментов будут соответственно точки х,, х₂, х₃,..., х_2n-1.

Разобьем интеграл на сумму нескольких интегралов:

(24)

Применим к каждому из интервалов правой части равенства (24) формулу (23):

(25)

где i=0,1,2,…,2n.

Складывая правые и левые части соотношений (25), получим

(26)

Эта формула носит название формулы параболических трапеций или формулы Симпсона.

Пример: вычислить с помощью формулы Симпсона при 2n=4 и 2n=8.

Решение: составив таблицу для 2n=4 и и, применяя формулу (26), получим

При 2n=8 , получим

Сравнивая результаты обоих вычислений, замечаем, что после округления совпадают первые три знака, поэтому за приближенное значение интеграла принимаем