
- •Лекция № 1. Вводная лекция
- •1.1Материя и формы движения материи. Физика, ее предмет и методы исследования.
- •Диаграмма иерархической организации материи
- •1.2. Биофизика. Значение физики и биофизики для биологии и медицины.
- •1.3. Связь физики с другими естественными науками. Содержание медицинской и биологической физики.
- •Лекция № 2. Системный подход и системный анализ в физике и биофизике
- •2.1. Понятие системы. Элементы системы и виды связи между ними
- •2.2. Кибернетические системы.
- •2.3.Системный анализ.
- •Система: законы поведения, свойства
- •Лекция № 3 методы численного анализа причинно-следственных связей.
- •Элементарный метод.
- •Метод регрессии
- •3.3 Метод корреляции.
- •Анализ с использованием показателей эластичности.
- •Лекция № 4. Моделирование.
- •Модели и их назначение.
- •Виды моделей.
- •4.3.Основные этапы математического моделирования.
- •Высшая математика. Занятие № 1. Теория пределов.
- •§ 1.1 Бесконечно малая и бесконечно большая величины.
- •§ 1.2. Предел переменной величины.
- •§ 1.3. Понятие о пределе функции. Некоторые приемы нахождения пределов функций.
- •Упражнения
- •Занятие №2. Производная функции
- •§ 2.1 Производная функции и метод ее нахождения
- •§ 2.2 Физический смысл производной функции.
- •2.3 Геометрический смысл производной.
- •§ 2.4 Производные второго и высших порядков. Механический смысл второй производной.
- •§ 2.5 Правило нахождения максимума и минимума функции.
- •§ 2.6 Построений графиков функций
- •Упражнения.
- •Занятие №3. Дифференциал функции.
- •§3.1 Дифференциал функции как главная часть приращения функции.
- •§ 3.2 Геометрический смысл дифференциала функции.
- •§ 3.3 Дифференциал второго порядка.
- •§ 3.4 Приложения дифференциала функции к приближенным вычислениям.
- •§ 3.5 Функции многих переменных. Предел функции.
- •§ 3.6 Частные производные. Полный дифференциал функции нескольких переменных.
- •Упражнения
- •Занятие №4. Неопределенный интервал.
- •§ 4.1 Понятие о неопределенном интеграле.
- •§ 4.2 Геометрический смысл неопределенного интеграла.
- •§ 4.3 Основные свойства неопределенного интеграла.
- •§ 4.4 Непосредственное интегрирование.
- •§ 4.5 Основные методы интегрирования.
- •Интегрирование методом разложения с использованием элементарных математических операций.
- •Интегрирование методом замены переменной.
- •Интегрирование по частям.
- •Упражнения.
- •2)Найти интегралы методом подстановки:
- •3.Найти интегралы методом интегрирования по частям:
- •§ 5.1 Определенный интеграл и его геометрический смысл.
- •Простейшие свойства определенного интеграла.
- •§ 5.2 Формула ньютона-лейбница.
- •§5.3. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •Интегрирование по частям.
- •§5.4 Некоторые сведения о рядах и их использование в процессе интегрирования.
- •Признак Даламбера.
- •Разложение в степенной ряд функции.
- •Понятие об интегралах, не берущихся в элементарных функциях.
- •Приближенное вычисление интегралов методом разложения функции в ряд.
- •§5.5 Несобственные интегралы.
- •§ 5.6 Приближенные методы вычисления определенных интегралов.
- •Метод средних прямоугольников.
- •Метод трапеций.
- •Метод параболических трапеций (метод Симпсона).
- •§5.7 Приложения определенного интеграла Вычисление площади в декартовых координатах.
- •Объем тела вращения.
- •Длина дуги кривой.
- •Площадь поверхности тела вращения.
- •Упражнения.
- •Занятие № 6. Основные сведения о дифференциальных уравнениях.
- •§ 6.1 Общие понятия о дифференциальных уравнениях и их определение.
- •§6.2 Дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными и разделяющимимся переменными.
- •§6.3 Однородные дифференциальные уравенния первого порядка.
- •§6.4 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •§ 6.5 Дифференциальные уравнения второго порядка уравнения вида
- •§ 6.6 Комплексные числа и их алгебраическая форма.
- •§ 6. 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •Рассмотрим эти случаи по порядку.
- •Упражнения.
- •Задачи.
- •Математическая статистика. Занятие № 1. Элементы комбинаторики. Бином ньютона.
- •§ 1.1. Множества
- •§ 1.2 Размещения
- •§ 1.3. Перестановки.
- •§1.4. Сочетания
- •1.5. Бином ньютона
- •Свойства разложения степени бинома.
- •Упражнения.
- •Занятие №2. Элементы теории вероятностей.
- •§ 2.1. Событие. Вероятность события.
- •§ 2.2. Основные теоремы теории вероятностей.
- •Теорема сложения вероятностей.
- •Теорема умножения вероятностей.
- •Условная вероятность.
- •Формула полной вероятности.
- •§ 2.3. Формула байеса (теорема гипотез)
- •§ 2.4. Формула бернулли.
- •§2.5. Теория вероятностей в генетике.
- •Примеры решения задач.
- •Упражнения
- •Занятие № 3 случайные величины и их основные характеристики.
- •§ 3.1. Случайная величина. Функция распределения.
- •Свойства интегральной функции распределения.
- •§ 3.2. Числовые характеристики случайных величин.
- •Характеристики разброса.
- •Моменты. Характеристики формы.
- •Упражнения.
- •Занятие № 4. Законы распределения случайных величин.
- •§ 4.1. Основные задачи математической статистики.
- •§ 4.2. Генеральная совокупность и выборка.
- •§ 4.3. Ряды распределения.
- •§ 4.4. Закон нормального распределения (закон гаусса)
- •§ 4.5 Распределение стьюдента.
- •§4.6. Оценка точности прямых равноточных измерений при малом числе опытов
- •Упражнения
- •Занятие № 5. Временные ряды
- •§ 5.1. Временные ряды и их виды.
- •§5.2. Характеристики динамики как единицы абсолютного и относительного измерения.
- •§5.3. Сущность и формы тренда и приемы выявления тенденции развития.
- •§5.4. Интерполяция и экстраполяция рядов динамики.
- •Контрольные вопросы.
- •Упражнения.
- •Используемая литература.
- •Оглавление
- •Высшая математика
- •Математическая статистика
- •Основы высшей математики и математической статистики
Упражнения
Найти пределы:
1.
. 2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
. 11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
. 17.
.
Занятие №2. Производная функции
§ 2.1 Производная функции и метод ее нахождения
Решение любой задачи на определение скорости неравномерного движения по данному уравнению этого движения s = f(t) приводит к нахождению предела вида
Предел этого вида играет весьма важную роль во многих областях науки и техники, поэтому в анализе бесконечно малых величин ему дано специальное название «производная функции».
Производной
данной функции у
=
f(x)
при данном значении аргумента х
называется предел отношения приращения
у
этой
функции к приращению
х
аргумента, когда приращение аргумента
стремиться к нулю.
На основании этого определения, например, можно сказать, что скорость движения в данный момент t есть производная от пути S по времени t.
Производную функции у = f(x) принято обозначать следующими символами:
у'х (читается «игрек штрих по икс»);
f'(x) (читается «эф штрих от икс»);
у' (читается «игрек штрих»).
Пользуясь этими обозначениями, можно написать
(1)
Аналогично, если
s=
,
то
(2)
Для того, чтобы функция у = f(x) при данном значении аргумента х
имела
производную
,
необходимо, чтобы бесконечно малому
х
соответствовало бесконечно малое
приращение
у
функции,
т.е. чтобы при
и
.
Отсюда следует, что функция у
=
f(x)
имеет
производную
лишь при таких значениях аргумента, при
которых она непрерывна.
____________________________________________________________________
Функция
называется непрерывной при
,
если эта функция существует (определена)
при
.
Процесс нахождения производной называется дифференцированием. Фраза «продифференцировать функцию» эквивалентна фразе «найти производную функции».
Из определения
производной вытекает общее правило
дифференцирования любой функции у
= f(x)
, которое можно свести к следующим
этапам, рассмотренным ниже на примере
функции
.
Аргументу х даем приращение х и находим новое (наращенное) значение функции: у + у = (х + х)2.
1)Находим приращение функции:
у = (у + у)-у = (х2 +2х х + х2)-х2 = 2x x + x2.
2) Находим отношение приращения функции к приращению аргумента:
3) Находим производную функции, т.е. предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю:
Производная у'х = 2х.
Значение производной
функции у = f(x)
при данном численном значении
аргумента х называется частным значением
производной. Например, частным значением
найденной производной функции при
, будет
.
Пример:
найти производную функции у
-х
при х = 2 .
Решение:
при х
= 2 будем иметь
.
Теперь проведем дифференцирование по
общему правилу:
1)
2
3)
4)
таким образом,
производная исходной функции
.
Аналогичным образом произведено дифференцирование элементарных функций. Нахождение их производных сводится к определению по таблице, приведенной ниже.
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
(
Кроме таблицы производных, для вычислений используются правила дифференцирования. Они легко получаются на основании определения производной и теорем о пределах.
Приведем без доказательства основные из этих правил.
ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ.
Постоянный множитель можно вынести за знак производной.
Производная алгебраической суммы двух или нескольких функций равна алгебраической сумме производных этих функций. (Функции предполагаются дифференцируемыми, т.е. имеющими производные).
Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле: (uv)' = u'v + v'u .
Производная частного двух дифференцируемых функций, в котором знаменатель отличен от нуля, вычисляется по формуле:
Правило дифференцирования сложной функции («правило цепочки»).
Если функция
имеет аргумент х, в свою очередь являющийся
функцией некоторой переменной t,
т.е.
,
то говорят, что у сложная функция от t,
т.е.
.
Производная функции у по переменной t
вычисляется по следующему правилу:
,
т.е. производная сложной функции по независимой переменной t равна произведению производной от функции по промежуточной переменной X на производную промежуточной переменной. Пользуясь таблицей и правилами дифференцирования функций, вычисляют производные более сложных функций.