7. Ризики інвестиційного портфеля і диверсифікація.

Нетрадиційна портфельна теорія — це підхід до формування портфельної стратегії з використанням різноманітних статистичних показників, які розглянемо, використовуючи підхід Джона Маршалла [9].

1. Показник дохідності активу r(t) за базовий період t.

Послідовність цін Р перетворюємо в послідовність ефективних дохідностей за період. Для цього потрібно поділити кожне наступне спостереження на попереднє і відняти одиницю.

2. Для обчислення середнього необхідно підсумувати всі значення дохідностей і поділити на кількість спостережень:

3. Обчислюючи дисперсію, треба відняти заздалегідь визначене середнє з кожного окремого значення в послідовності спостережень дохідностей. Потім кожну різницю окремо піднести до квадрату, підсумувати ці квадрати величин і поділити отриману суму на кількість спостережень мінус одиниця:

Отже, дисперсія характеризує ступінь коливання показника, що вивчається, відносно його середньої величини.

Статистичні оцінки, які подані співвідношеннями називаються вибірковим середнім та вибірковою дисперсією і позначаються через (мю) і (сигма квадрат) відповідно. Цими назвами підкреслюється, що введені величини не обов'язково збігаються з істинним середнім і істинною дисперсією генеральної сукупності. У разі стаціонарної послідовності дохідностей можна стверджувати, що чим більша кількість спостережень, із яких отримані вибіркові середнє і вибіркова дисперсія, тим імовірнішим є наближення вибіркових характеристик до істинного значення генеральної сукупності. Тобто точність емпіричних результатів може бути підвищена, якщо використовувати довші послідовності.

4. Вибіркове стандартне (середньоквадратичне) відхилення - є квадратним коренем з дисперсії:

Отже, з кожним активом портфеля пов'язані середня дохідність і дисперсія дохідності. Крім того, з кожною парою дохідностей пов'язаний коефіцієнт кореляції.

5. Кореляція — це міра, призначена для оцінювання статистичної залежності між двома часовими рядами. Так, якщо два ряди рухаються в одному напрямі, то вони позитивно корельовані, якщо в протилежних — кореляція від'ємна. Ступіньзалежності даних одного ряду від другого вимірюється коефіцієнтом кореляції, котрий варіює від +1 для абсолютно позитивнокорельованих рядів, що змінюються паралельно один одному, до -1 для абсолютно від'ємно корельованих рядів, що змінюються впрямо протилежних напрямах. Якщо ж кореляція двох рядів незбігається з -1 або +1, то говорять про часткову кореляцію. Якщо ж коефіцієнт кореляції дорівнює нулю, то розглядувані часові ряди не корельовані.

Щоб розрізнити активи інвестиційного портфеля між собою, введемо відповідну індексацію та позначення для коефіцієнта кореляції. Позначимо дохідність активу і через середні величини , — через , і дисперсію , — через . Позначимо кореляцію між дохідностями активу і й активу через (ро).

Для розрахунку коефіцієнта кореляції потрібно спочатку вирахувати коваріацію між двома дохідностями. Коваріація —це статистична міра того, наскільки дві випадкові змінні, такі, наприклад, як дохідність двох активів інвестиційного портфеля активу і й активу , залежать один від одного. Позитивне значення коваріації показує, що дохідність цих активів має тенденцію змінитися в один бік, негативне — що дохідності мають тенденцію компенсувати одна одну. Нульове значення коваріації показує, що зв'язок між дохідністю цих активів слабкий, або відсутній взагалі.

Формула для обчислення коваріації дається співвідношенням

а коефіцієнт кореляції розраховується

Отже, з останньої формули випливає, що коваріація двох випадкових змінних дорівнює кореляції між ними, помноженій на добуток їх стандартних відхилень.

Позначимо дохідність портфеля через , середню дохідність портфеля — через і дисперсію дохідності портфеля — через .

Позначимо питому вагу активу і через і будемо вважати, що всього до портфеля включено п активів. Сума використовуваних часток має дорівнювати одиниці (100 %). Характеристики портфеля пов'язані з характеристиками окремих дохідностей (середніми, дисперсіями і коефіцієнтами кореляції) такими формулами відповідно.

Величини і є зваженими середніми відповідних характеристик для окремих активів. Дисперсія дохідності , є сумою добутків (кожний з яких складається з п'яти співмножників). Перші два співмножники — частки, другі два — стандартні відхилення, а останній співмножник — коефіцієнт кореляції. Ці добутки підраховуються для будь-якої пари активу і й активу . Усього під знаком суми має бути таких добутків.

Формулу можна спростити, якщо врахувати дві обставини. У разі збігу активу і й активу добуток перетворюється в . Це відбувається через те, що кореляція будь-якої дохідності з самою собою за визначенням дорівнює 1. Також при рвзних і та добутки і рівні між собою і їх можна один рах включити в суму з подвоєнням коеффіцієнта. Отож, можна подати формулу у вигляді:

(1) (2)

За такого розкладання дисперсії чіткіше видно, що портфельний ризик складається з двох різних компонент.

Перша, помічена цифрою (1), визначає ризик, пов'язаний тільки з дисперсіями окремих дохідностей. Цей ризик називається несистемним ризиком (інколи про нього говорять як про власний або специфічний ризик).

Друга компонента ризику, помічена цифрою (2), визначає ризик, пов'язаний з кореляціями між дохідностями активів, включених до портфеля. Цей ризик називається системним ризиком (інколи його називають ринковим ризиком).

Значення поділу ризику на несистемний і системний полягає в тому, що ці види ризику ведуть себе зовсім по-різному, коли кількість активів, включених до портфеля, збільшується. Так, з розширенням портфеля несистемний ризик стає все меншим (на мові статистики можна сказати, що «ризик асимптотично наближається до нуля»).

Маючи портфель з великою кількістю активів, у майбутньому слід очікувати, що кількість компаній, про які стануть відомі будь-які хороші новини, приблизно дорівнюватиме кількості компаній, про які стануть відомі будь-які погані новини, що призведе до невеликого очікуваного чистого впливу на дохідність добре диверсифікованого портфеля. Це значить, що чим більше диверсифікується портфель, тим меншим стає несистемний (власний) ризик. Отже, можна зробити такий висновок: диверсифікація суттєво зменшує несистемний ризик.

Системний же ризик поводить себе зовсім по-іншому. Так, зі збільшенням кількості активів, включених до портфеля, системний (ринковий) ризик сходиться до середнього значення за всіма коваріаціями для всіх пар активів, включених до портфеля. Отже, диверсифікація приводить до усереднення системного ризику. Цей висновок має важливе значення, так як у випадку несприятливого або сприятливого економічного прогнозу більшість цінних паперів буде не сплачено чи, відповідно, сплачено.

Поведінка несистемного і системного ризиків висвітлює багато важливих моментів

• якщо дохідність активів не є повністю позитивно корельованою, то диверсифікація портфеля зменшує дисперсію (ризик) портфеля без адекватного зменшення середньої дохідності

• у разі добре диверсифікованого портфеля несистемним ризиком можна знехтувати, оскільки він у будь-якому разі прямує до нуля. Існує кілька поглядів щодо того, скільки потрібно мати активів у портфелі, щоб він вважався добре диверси-фікованим. Одним спеціалістам буває достатньо 15 активів, тоді як інші потребують 60. Однак умовна норма, що ґрунтується на дослідах, зводиться до 30

• оскільки системний ризик не зникає за рахунок диверсифікації, ним потрібно управляти.

Отже, збільшення диверсифікації дає змогу знизити загальний ризик портфеля за рахунок скорочення власного ризику портфеля, тоді як ринковий ризик портфеля залишається приблизно таким самим. Рис. показує, як диверсифікація приводить до зниження власного ризику й усереднення ринкового ризику.

Рис. Ризик і диверсифікація