Криві байдужості інвесторів з різним ступенем уникнення ризику
Як можна побачити на рис. інвестор з високим ступенем уникнення ризику має криві байдужості зі стрімкішим нахилом.
Отже, кожний інвестор має графік кривих байдужості, котрі показують його оцінку очікуваних дохідностей і стандартних відхилень. Це значить, що інвестор має визначити очікувану дохідність і стандартне відхилення для кожного потенційного портфеля, нанести їх на графік і потім вибрати один портфель, який лежить на кривій байдужості, що розміщена вище і лівіше відносно інших кривих.
Виходячи з підходу Г. Марковіца, існує нескінченна кількість можливих портфелів. Але чи потрібно інвестору оцінювати усі ці портфелі? Вільям Ф. Шарп стверджує, що не треба. Пояснення того факту, що інвестор має розглядати тільки підмножину можливих портфелів доводиться в теоремі про ефективну множину. Суть теореми полягає в тому, що інвестор вибере свій оптимальний портфель з множини портфелів, кожний з яких забезпечує:
максимально очікувану дохідність для деякого рівня ризику;
мінімальний ризик для деякого значення очікуваної дохідності.
Набір портфелів, які задовольняють ці дві умови, називається ефективною множиною. Відповідно, ефективним портфелем називається портфель, який забезпечує найвищий рівень очікуваного доходу за даного рівня ризику і найменший ризик за даного рівня доходу.
Досяжна й ефективна множина
Місцезнаходження досяжної множини, відомої також як множина можливостей, з якої може бути виділена ефективна множина, проілюстровано на рис. Досяжна множина є сукупністю всіх портфелів, котрі можуть бути сформовані з групи в N фінансових інструментів. А з набору N фінансових інструментів можна сформувати нескінченне число портфелів. Це значить, що всі можливі портфелі, котрі можуть бути сформовані з N активів, лежать або на границі, або в середині досяжної множини (точки G, Е, S і Н рис. є прикладами таких портфелів). Як правило, ця множина матиме форму парасольки. Залежно від використання тих чи інших активів вона може бути більше зміщена вправо чи вліво, вверх чи вниз, крім того, вона може бути ширшою або вужчою від наведеної тут множини.
Місцезнаходження ефективної множини визначимо, застосувавши теорему про ефективну множину відносно досяжної множини. Спочатку виділимо множину портфелів, які задовольняють першу умову теореми про ефективну множину. 3 рис, не існує менш ризикового портфеля, ніж портфель Е, і більш ризикового портфеля, ніж портфель Н. Таким чином, множиною портфелів, котрі забезпечують максимальну очікувану дохідність за змінного рівня ризику є частина верхньої границі досяжної множини, розміщена між точками Е і Н.
Розглядаючи другу умову, відмітимо, що не існує портфеля, який би забезпечував більшу очікувану дохідність, ніж портфель S, і не існує портфеля, який би забезпечував меншу очікувану дохідність, ніж портфель G. Таким чином, множиною портфелів, котрі забезпечують мінімальний ризик за змінного рівня очікуваної дохідності, є частина лівої границі досяжної множини, розміщена між точками S і G.
Оскільки при визначенні ефективної множини повинні братися до уваги обидві умови, то інвестора задовольняють тільки портфелі, які лежать на верхній і лівій границі досяжної множини між точками Е і S. Відповідно ці портфелі становлять ефективну множину, і із цієї множини ефективних портфелів інвестор вибиратиме оптимальний для себе. Усі ж інші досяжні портфелі є неефективними і мають бути проігноровані.
Розглянемо, у який спосіб інвестор вибирає оптимальний портфель. Як зображено на рис, інвестор має накреслити свої криві байдужості на одному рисунку з ефективною множиною, а потім перейти до вибору оптимального портфеля, розташованого на кривих байдужості, що перебуває вище і лівіше останніх. Цей портфель відповідатиме точці, в якій крива байдужості доторкується ефективної множини. Таким портфелем є портфель О* на кривій байдужості К2. Отже, оптимальний портфель інвестора ідентифікується з точкою дотику кривих байдужості з ефективною множиною. При цьому інвестор з високим ступенем уникнення ризику вибере портфель, розташований близько до точки Е, тоді як інвестор з низьким ступенем уникнення ризику вибере портфель, розташований близько до точки S.
Рис. Вибір оптимального портфеля
Як довів В. Шарп, ефективна множина увігнута (що випливає із визначення стандартного відхилення портфеля та з існування фінансових активів, дохідність яких не є цілком позитивно чи негативно корельованою) і має позитивний нахил. Тобто відрізок, який з'єднує будь-які дві точки ефективної множини, лежить нижче даної множини. Ця властивість ефективних множин означає, що існує тільки одна точка дотику ефективної множини і кривих байдужості