Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

где числа Ак, ..., Ак являются действительными, Р*(х) — многочлен

Qn-k^x>

вильной, а число х = а не является корнем многочлена Q*n_k{x).

Qn(x)

+ iS — невещественный корень многочлена Qn(x) кратности s, то существуют действительные числа В и D, а также многочлен Р(х) с действительными коэффициентами такие, что

причем второе слагаемое в правой части равенства(18)— правиль­ ная дробь, числа В, D и коэффициенты многочлена Р(х) определяют­

делился без остатка на х2 + рх + q. Это будет выполняться в силу теорем 1 и 2 тогда и только тогда, когда число X Q будет корнем мно­ гочлена 'ф(х), т. е. в случае, когда 'ф(хо) = 0 или

Из равенства (20) в силу условия (10) получаем

Пусть с и d — соответственно действительная и мнимая части дроби, стоящей в правой части равенства (21). Тогда это равенство примет вид

D + В( 7 + i8) = с + id,

откуда, предполагая, что В и D — действительные числа, получаем

Так как 5 ф 0, то из системы уравнений (22) однозначно определя­ ются действительные числа В и D такие, для которых выполняется условие ф(хо) = 0, и поэтому при значениях В и D, удовлетворяющих системе (22) или условию (2 1), многочлен 'ф(х) делится без остатка на х2 + рх + q.

Следовательно, существует единственный многочлен с действи­

Разделив обе части равенства (24) на Qn(ж) = (ж2 + рх + q)sQn- 2s(x),

члена 'ф(х), т о г ^ ш и г ^ п —2s + l , откуда следует, что г ^ п —1 . •

где Bj, Dj (j = l,s) — действительные числа, P*(x) — многочлен с

действительными коэффициентами, дробь Р*(x)/Qn- 2s(x) является

правильной, причем многочлен Qn- 2s(x) не делится нацело на ж2 + + рх + q.

Т е о р е м а 4. Если Рт(ж) и Qn(ж) — многочлены степеней т и п

Все коэффициенты разложения (26) являются действительными числами и определяются однозначно.

О Применяя лемму 1, выделим сначала простые (элементарные) дро­

би вида /(х —а\)р, где р принимает значения от 1 до ац. Затем к дроби P*(x)/Q*n_ai (ж) снова применим лемму 1 (формула (17)) и

Если дробь Pm(x)/Qn(x) является неправильной (то ^ те), то, разде­ лив числитель на знаменатель, например, способом “деления в стол­ бик”, эту дробь можно записать в виде

Pm(x)/Qn(x) = S(x) + R(x)/Qn(x),

где S(x) — многочлен (частное от деления Рт на Q„), R(x) — оста­ ток от деления, R(x)/Qn(x) — правильная дробь. Например, дробь ж4/(ж2 —ж+1) является неправильной. Выполняя деление ж4 на ж2 — —ж + 1 , получаем

Таким образом, при интегрировании дроби (1) получается либо ло­ гарифмическая функция (г = 1 ), либо правильная рациональная дробь (г > 1 ).

Обозначим

,/' Вх + D

Jk = .i\ х2 + рх + q)k dx.

304 Гл. VI. Неопределенный интеграл

Следовательно, интеграл Jj, является линейной комбинацией интег­ ралов

а интеграл JjL' можно вычислить с помощью полученной в § 30 (при­ мер 17) рекуррентной формулы, причем согласно этой формуле является линейной комбинацией правильной рациональной дроби и арктангенса.

Таким образом, интеграл от любой рациональной дроби представ­ ляется в виде линейной комбинации многочлена (если рассматрива­ ется неправильная дробь), правильной рациональной дроби, логариф­

дробь, а корни ее знаменателя являются вещественными и простыми (их кратность равна единице), то

Умножив обе части равенства (4) на знаменатель его левой части, по­ лучим

Для нахождения чисел А3, А2, А3 можно приравнять коэффициен­ ты при одинаковых степенях х в тождестве (5). Однако существует более эффективный способ вычисления. Полагая в тождестве (5) сна­ чала х = —2, затем х = 1 и, наконец, х = 3, последовательно находим

Заметим, что число А3 можно найти из равенства (4), если умно­ жить обе его части на х + 2, а затем перейти к пределу при х -+ —2.

Тогда .4, = 1ип2 где ф ) = -

функция, которая получается вычеркиванием множителя х + 2 в зна­ менателе левой части равенства (4). Тем же способом можно найти числа А2 и А3.

Полагая втождестве (6)ж = 1, находим 8 = 84i, откуда А3 = 1. Дифференцируятождество (6), а затем полагая ж = 1 в полученном равенстве, находим 4 = 4 + 4А2, откуда А2 = 0. Приравнивая коэффи­ циенты при ж3 и свободные члены в равенстве (6), получаем 3 = В, 10 = 5.11 + D, откуда D = 5.

306 Гл. VI. Неопределенный интеграл

и учитывая, что многочлен ж4 + 1 не имеет действительных корней,

Сравнивая коэффициенты при ж3, х2, х1 = х, х° (свободные члены) в тождестве (7), получаем

Из первого, третьего и четвертого уравнении этой системы следу­ ет, что D = D1 , 2D = 1, откуда находим D = Di = - , а из первого, вто­ рого и четвертого уравнений получаем В\ = —В, 2Bs/2 = D + Di = 1,

308 Гл. VI. Неопределенный интеграл

где Qi(x) — многочлен, имеющ ий те же корни, что и Q{x), но кратности 1 ,

Q(x) = Qi(x)Q'i(x), Pi(x) и Рг{х) — многочлены, причем Pi/Qi и P>/Q-> —

правильны е дроби.

Второе слагаемое в правой части равенства (8) — интеграл, вы раж а­ ю щ ийся через логарифм и арктангенс; это слагаемое назы ваю т трансцен­ дентной частью интеграла от P(x)/Q(x).

Метод Остроградского (формула (8)) дает возмож ность найти рацио­ нальную часть интеграла (функцию Р2 (х) / Qi{x)) алгебраическим путем (без интегрирования). Для нахож дения многочленов Р\ и Р? их записы ва­ ю т с неопределенными коэффициентами и вы числяю т эти коэффициенты из соотношения, получаемого при дифференцировании тож дества (8).

2. Интегрирование иррациональных функций. Многие час­ то встречающиеся в приложениях интегралы от иррациональных функций удается преобразовать в интегралы от рациональных функ­ ций с помощью различных подстановок.

Здесь и в дальнейшем будем обозначать буквой R рациональную функцию. Например, запись R(u,v) будет означать, что рассматрива­ ется рациональная функция переменных и, V, т. е. функция, предста­

вимая в виде R(u,v) = ^ UyV\ , где Р и Q — многочлены относитель-

Q(u,v)

но и, а коэффициенты этих многочленов являются многочленами

сительно sin ж и cos ж.

Рассмотрим некоторые типы интегралов от рациональных функ­

где гр G Q (k = 1,те), a ,b ,c ,d £ R , ad — Ъсф 0, подстановкой

ах + Ь _ сх + d

(р — общий знаменатель рациональных чисел г\,...,гп) приводятся к интегралу от рациональной функции (см. [2]).

применить подстановку ж = t6, так как подынтегральная функция является рациональной относительно переменных и = ж, v = ж1/2, и>=