Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

290 Гл. VI. Неопределенный интеграл

Запись комплексного числа z ф 0 в виде (12) называют тригономет­ рической формой комплексного числа.

Из формул (11) находим

Решив систему (13), найдем аргумент комплексного числа z ф 0. Эта система имеет бесконечно много решений вида р = р0 + 2&7Г, где k G Z, (^о — одно из решений системы (13), т. е. аргумент комплекс­ ного числа определяется неоднозначно.

Для нахождения аргумента обычно пользуются не формулами (13),

получаемой почленным делением второго из равенств (13) на первое. Следует иметь в виду, что не все значения р, удовлетворяющие урав­ нению (14), являются аргументами числа г.

Пр и ме р 3. Найти все аргументы числа —1 + i y / 3 и записать это число в тригонометрической форме.

Д Комплексное число лежит во второй четверти, поэтому в качест­

ве одного из решений уравнения tg p = — у/3 можно взять р 0 =

а все значения аргумента данного комплексного числа определяются формулой

+ г sin р. Комплексное число cos р + г sin р обозначается символом ег(/?, т. е. для любого р Е R функция ещ

определяется формулой Эйлера

Равенство (15) находит обоснование в теории рядов (§ 44).

Из формулы (15) следует, что е2?гг =

Из геометрической интерпретации (рис. 31.4) следует правило ра­

венства двух комплексных чисел в показательной форме: если Z\ = —r ig*vi И Z2 — r2g*V2j то Zl — Z2 Х0Гда и только тогда, когда

r*i =»*2, <^1 = ^ 2 + 2кж, к £ Z.

Рассмотрим теперь некоторые важные свойства комплексно со­ пряженных чисел. Пусть г = reltp= г cos (р + ir sin р, тогда г г cos р — —ir siny? = re^%lp, т. е. если р = argz, то —р = arg~z. Отсюда и из ра­ венств (20), (2 1) следует, что

являются корнями уравнения (22) и других корней это уравнение не имеет.

На комплексной плоскости точки zp (к = 0, те —1) располагаются в вершинах правильного те-угольника, вписанного в окружность ра­ диуса рфр с центром в точке 0.

294 Гл. VI. Неопределенный интеграл

Используя формулу (15), отсюда находим

e (a+i@)t = е»*(cos + г sin /3t). (28)

Применяя к функции ext, где Л = а + i/i, правило дифференцирова­ ния (25), легко показать, что

По аналогии с производной неопределенный интеграл от комплекс­ нозначной функции z(t) = x(t) + iy(t) определяется формулой

Jz(i) dt = Jx(i) dt + ijy (t) dt.

Если комплексная функция cc(t) = £(t) + irj(t) такова, что to'(t) = = z(t), TO

Jz(t) dt = Joj'(t) dt = f €'(t) dt + ij rj' {t) dt = (;(t) + C\ + irj{t) + iC2.

Следовательно,

Jz(t) dt = Lo(t) + С, С = Ci + iC2.

Применяя это утверждение к функции еМ+г^ ь и используя форму­ лу (29), получаем

Заметим, что формула (31) была получена с помощью интегриро­ вания по частям в § 30 (пример 19).

Коэффициенты cn,cn_i, ...,Ci,Co многочлена могут быть как действи­ тельными, так и комплексными числами, переменное х может при­ нимать любые значения из множества R или С.

Число а называют корнем многочлена Qn(x), если Qn(a) = 0. На­ пример, число х = 1 — корень многочлена х3 —Зх2 + 2, а число х = i — корень многочлена х2 + 1 .

Рассмотрим вопрос о делении многочлена Q„(x) на двучлен (х —

—а). Разделить многочлен Q„(x) на двучлен (х — а), где а — заданное число, означает по определению представить его в виде

где Qn- i(x) — многочлен степени те —1 , г — некоторое число (его на­ зывают остатком от деления многочлена на х — а). Предполагается, что равенство (2) справедливо при всех значениях х € R (или х € С). Если г = 0, то говорят, что многочлен делится без остатка (нацело)

на х —а.

Т е о р е м а 1 (Везу). Число а является корнем многочлена Q„(x) тогда и только тогда, когда этот многочлен делится без остатка на х —а, т. е. справедливо равенство

О Пусть х = а — корень многочлена Qn(x), тогда Q„(a) = 0. С другой стороны, из равенства (2) при х = а получаем г = Qn(a). Следователь­ но, г = 0, т. е. многочлен Q„(x) делится без остатка на i -• о, если а — корень этого многочлена.

Обратно, если многочлен делится без остатка на i -- а, т. е. спра­ ведливо равенство (3), то из этого равенства следует, что Qn(a) = 0. Следовательно, х = а — корень многочлена Qn(x). •

Ведем понятие кратности корня. Число х = а называют корнем многочлена Qn(x) кратности к, если существуют число к € N и мно­ гочлен Q*n_k(x) такие, что для всех х € R (х € С) выполняется ра­

Упражнение. Показать, что число а € R является корнем кратнос­ ти к многочлена с действительными коэффициентами Qn(x) тогда и только тогда, когда

Qn ’(a) = 0 ПРИ Р = 0,1,..., к —1 и Q^\a) / 0.

б) Многочлен с действительными коэффициентами. Рассмотрим многочлен второй степени (квадратный трехчлен) с действительны­ ми коэффициентами

Q(x) = х2 + рх + q.

Предположим, что его дискриминант отрицателен, т. е.

D = р2 - 4q < 0.

Тогда

Q ( s ) = ( s + ! ) + < ? ^ = ( ж + ! )

откуда следует, что корнями многочлена Q(x) являются комплексно сопряженные числа

и других корнейэтот многочлен не имеет. Это утверждение остается в силе и длямногочлена любой степени п (те ^ 2) с действительными коэффициентами, т. е. справедлива следующая теорема.

Т е о р е м а 2. Если число XQ = 7 + iS — невещественный корень

В силу свойств сопряженных чисел равенство (6) можно записать в виде

так как ср = ср (по условию все коэффициенты многочлена Q„(x) — действительные числа), к = 0, п. Равенство (7) можно записать так:

Qn(x0) —0.

Это означает, что XQ — корень многочлена Qn(x). •

Теоремы 1 и 2 доказаны в предположении, что многочлен Q„(x) имеет корень. Ответ на вопрос о существовании корня многочлена дает сформулированная ниже теорема 3.

в) Основная теорема алгебры.

Т е о р е м а 3. Всякий многочлен степени ri ф 1 с действительны­ ми или комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень.

Эта теорема, доказательство которой обычно приводится в курсе теории функций комплексного переменного (см., например, [6]), на­ зывается основной теоремой алгебры.

Пусть Xi — корень многочлена Qn(x), степень которого равна п. Тогда по теореме 1 этот многочлен представляется в виде

Q„(x) = (х - x1)Qn- 1(x),

где Qn- i(x) — многочлен степени п —1 .

Применяя к многочлену Qn- i(x) теоремы 1 и 3, находим Q„(x) =

=(х —хг)(х - x2)Qn- 2(ж).

Спомощью индукции получим следующий результат:

г) Разложение многочлена с действительными коэффициентами на множители. Если х = а — действительный корень кратности к многочлена степени п с действительными коэффициентами Qn(x), то выполняется равенство (4), где Q*n_k(x) — многочлен степени п —/>• с действительными коэффициентами, для которого число х = а не является его корнем.

Пусть Хо = 7 + гб — невещественный корень (5 ф 0) многочлена Qn(x); тогда число Xq = 7 —iS также является корнем этого много­ члена (теорема 2), и поэтому правая часть (8) содержит множители (х —Жо) и (ж —Жо), произведение которых равно

(ж —жо)(ж —жо) = (ж —7 —i6)(x —7 + iS) = (ж —7 )2+ б2 = х 2 + рх + q,

где р = ^ 2 7, q = 7 2 + б2, р2 — 4q = ^ 4 б2 < 0. Таким образом, много­ член Q„(ж) в этом случае делится без остатка на квадратный трех­ член ж2 + рх + q, коэффициенты которого являются действительны­ ми числами, а дискриминант трехчлена отрицателен, т. е. р2 — 4q < 0. Это означает, что существует такой многочлен Qn- 2(х) с действи­ тельными коэффициентами, что

Qn(x) = (ж2 + рх + q)Qn- 2(х).

Если число Жо = 7 + г б, где 5 ф 0, является корнем многочлена Qn(ж) кратности s, то число Жо также будет корнем этого многочлена

298 Гл. VI. Неопределенный интеграл

кратности s, и поэтому многочлен Q„(x) можно представить в виде

где p, q— действительные числа, p2 —4q < 0, a Q n - 2 s ( x ) — много­

Пусть а\,(12 , ...,ак — все действительные корни многочлена Qn(х), а их кратности соответственно равны ai,ct2, ...,ак. Тогда равенст­ во (8) можно записать в виде

Qn(x) = ( х - а О ^ . ^ х - а О ^ Щ х ) ,

коэффициентами, не имеющий действительных корней.

Если R(x) — многочлен ненулевой степени, то каждой паре комп­ лексно сопряженных корней Xj и Xj кратности (3j многочлена Q„(x)

Таким образом, зная все действительные и невещественные корни многочлена с действительными коэффициентами Qn(x), можно этот многочлен разложить на множители, т. е. представить в виде (1 1), где числа сп, оц,...,ак, Pi, ■■■,ps, Qi,--,Qs являются действительными.

2. Теорема о разложении правильной рациональной дроби.

Рассмотрим рациональную функцию (рациональную дробь), т. е.

функцию вида f(x) = ту4-у, где Рт(х) и Q„(x) — многочлены степе-

Qn\x)

ней т и п соответственно. В случае когда то < те, эту дробь называют правильной. Будем предполагать, что коэффициенты многочленов Рт и Qn являются действительными числами.

Л е м м а 1. Если Qn(x) — правильная рациональная дробь и х =

= a — действительный корень многочлена Qn(x) кратности k 1,

где Q*n_k{x) — частное от деления Qn(x) на (х —а)к.

Второе слагаемое в правой части равенства (12) — правильная дробь, число А и многочлен Р(х) определяются однозначно.

О Найдем такое число А, чтобы многочлен

делился без остатка на х —а. В формулах (12) и (13) Q*n_k — частное от деления Qn(x) на (х —а)к, т. е. многочлен, определяемый равенст­ вом (4) и условием (5).

Согласно теореме 1 многочлен (р(х) будет делиться без остатка на i - а в том и только том случае, когда (р(а) = 0, т. е.

Таким образом, число А является действительным и определяется однозначно формулой (14).

Так как многочлен (р(х), где число А определяется формулой (14), делится без остатка на х — а, то существует единственный многочлен

Разделив обе части равенства (16) на Qn(x) =(х — a)kQ*n_k{x), полу­