Прикладна економетрика - Комашко О. В

46

Елементи j-го ( 0 ≤ j ≤ k −1) стовпчика матриці X* знаходяться аналогічно:

Якщо у вихідній моделі є постійний доданок, то перетворена модель не матиме константи. Замість неї з’явиться змінна x0* , значення якої дорівнюють

Зауважимо, що оцінка β0 -коефіціента при змінній x0* є оцінкою постійного доданку у вихідній моделі.

1.5.7. Виявлення автокореляції. Статистика Дурбіна-Ватсона

Найчастіше для виявлення автокорельованості збурень користуються критерієм Дурбіна–Ватсона. При застосуванні цого критерія нульовою гіпотезою є некорельованість збурень, а альтернативою є те, що збурення підпорядковані процесу авторегресії першого порядку. Позначимо через ui ,1 ≤ i ≤ n залишки методу найменших квадратів у моделі (1.94). Значення статистики Дурбіна–Ватсона знаходиться за наступною формулою:

i=1

47

Можливі значення d належать інтервалу (0; 4). Розподіл статистики Дурбіна–Ватсона приблизно симетричний відносно двійки. Значення d, близькі до 2, вказують на відсутність автокореляції. Значення, близькі до 0, вказують на наявність автокореляції з додатнім ρ, значення, близькі до 4, вказують на наявність автокореляції з від’ємним ρ . Параметрами розподілу статистики Дурбіна–Ватсона є кількість спостережень та регресорів. Точний розподіл статистики залежить від матриці незалежних змінних Х. В таблицях приводяться такі пари критичних значень, що для будь-якого вигляду матриці Х точне критичне значення лежить між табличними. Алгоритм застосування критерія Дурбіна–Ватсона полягає у наступному.

1.Оцінюємо модель (1.94) за допомогою звичайного методу найменших квадратів.

2.За формулою (1.118) обчислюємо значення статистики Дурбіна–Ватсона.

3.Вибираємо рівень значущості α і за таблицею критичних значень статистики Дурбіна–Ватсона знаходимо верхнє і нижнє критичні значення du та dl, а також обчислюємо 4 – du та 4 – dl. Зауважимо, що 0 < dl < du < 2 < 4 – du < 4 – dl < 4.

4.Робимо висновок за таким правилом:

1)Якщо d < dl, то має місце автокореляція з додатнім ρ.

2)Якщо dl < d < du, то ми не можемо зробити ніякого висновку, і цей інтервал називається областю невизначеності.

3)Якщо du < d< 4 – du, то автокореляція відсутня.

4)Якщо 4 – du < d < 4–dl , то ми не можемо зробити ніякого висновку. Цей інтервал також є областю невизначеності.

5)Якщо 4 – dl < d < 4, то має місце автокореляція з від’ємним ρ.

Щодо областей невизначеності можна дати таку практичну рекомендацію: якщо вибіркове значення d потрапляє до інтервалу невизначеності, то вважають, що має місце автокореляція.

49

Автокореляція може виникати внаслідок неправильно визначеної функціональної форми. Нехай справжня модель має вигляд

yt = β0 + β1 lnt +εt ,

а замість неї ми оцінюємо

yt = β0 + β1t +εt .

В такому випадку ми, напевне, стикнемося з ситуацією, подібної до зображеної на рисунку 1.3.

Рис. 1.3.

Зрозуміло, що залишки виявляться корельованими (за даними, зображеними на рисунку, які відсортовано в порядку зростання х, d = 0,948). Правильним рішенням буде не використання узагальненого методу найменших квадратів, а зміна функціональної форми моделі. Простим критерієм перевірки функціональної форми є критерії RESET.

Критерій RESET

Для перевірки лінійності в моделі

yi = xi/ β + εi ,

де через xi/ позначено вектор регресорів в і-му спостереженні, слід оцінити вихідну модель звичайним методом найменших квадратів, а потім в допоміжній регресії

yi = x'i β +α2 ˆyi 2 +α3 ˆyi 3 + ...2aˆyi q +υi

50

перевірити гіпотезу Η0 :α2 =0...αq =0. Можна використати стандартний - F -

критерій або загальний критерій Вальда зі статистикою

W = (q −1)F ,

яка асимптотично має розподіл χ-квадрат з q − 1 степенями свободи. Якщо нульова гіпотеза відхиляється в модель потрібно включити відповідні степені та добутки вихідних змінних.

Автокореляція внаслідок пропущених змінних.

Автокореляція може виникати внаслідок пропущених змінних. Очевидний приклад-відсутність сезонних фіктивних змінних при моделюванні показника, динаміка якого характеризується сезонними коливаннями. Як правило точну функціональну форму у випадку нелінійної залежності, не можливо визначити з економічних міркувань. Однак у багатьох реальних ситуаціях , модель, яка вилучає степені та добутки вихідних змінних (або, частіше,– логарифмів вихідних змінних) може виявитись прийнятною апроксимацією. Якщо у повній моделі автокореляція відсутня, проблему можна вважати вирішеною. Перевірка моделі на пропущені змінні здійснюється за допомогою критерія множинників Лагранжа. Нехай справжня модель

yi = xi' β + zi' γ +εi ,

тоді як оцінюється yi = xi' β +εi .

Найпрстіший способ обчислити LM-статистику є таким. Знайти залишки у вихідній моделі і оцінити допоміжну регресію стовпчика з одиниць відносно змінних моделі і можливих пропущених змінних, помножених на відповідні залишки. LM-статистика дорівнює сумі квадратів прогнозів залежної змінної з цієї регресії. Якщо вірна гіпотезаH0 :γ =0 , вона асимптотично має розподіл χ-

квадрат, кількість степенів свободи якого дорівнює кількості елементів γ . У

випадку відхилення нульової гіпотези змінні Z слід включити в модель і перевірити її на наявність автокореляції.

51

Автокореляція внаслідок неправильно визначеної динаміки.

Інша можливість – це автокореляція внаслідок неправильно визначеної динаміки. Така ситуація виникає, коли реакція залежної змінної на зміни незалежних змінних не є миттєвою, а розповсюджена в часі. Якщо відсутні специфічні міркування щодо характеру такої реакції найбільш доцільним шляхом є розгляд моделі з авторегресійно розподіленими лагами (ADL)

yt = xt ' β + xt−1' γ +δyt −1 +εt

замість звичайної моделі yt = xt ' β +εt . .

В моделі ADL слід перевірити гіпотези γ = 0 іδ = 0, а також перевірити її на наявність автокореляції. Слід пам’ятати, що внаслідок корельованості yt −1 з εt−1

МНК-оцінки, хоча і зберігають властивість консистентності, будуть зміщеними. Отже, всі стандартні результати вірні лише асимптотично. Крім того, внаслідок наявності лагового значення залежної змінної yt −1 серед регресорів використання статистики-Дурбіна-Ватсона є некоректним, тому слід застосувати критерій множників Лагранжа. Моделі з розподіленими лагами будуть розглянуті в розділі 2.

статистики потрібно оцінити допоміжну регресію залишків звичайного методу найменших квадратів et відносно xt ,e(−1)...,etp (заповняючи пропущені значення -

лагових залишків нулями ). Нехай R2 - коєфіцієнт детермінації в цій регресії. В припущенні, що нульова гіпотеза вірна, статистика

LM =TR2 ,

52

де Т-кількість спостережень, асимптотично має розподіл X -квадрат з p степенями свободи. Зауважимо, що при p =1 даний критерій може використовуватись як альтернатива критерію Дурбіна-Ватсона, навіть в ситуаціях коли останній можна застосовувати.

1.5.9.3. Звичайний метод найменших квадратів

Для оцінювання моделей з автокорельованими збуреннями можна використати звичайний метод найменших квадратів: як-зазначалося вище, проблеми існують скоріше не з оцінками параметрів (хоча вони і не будуть оптимальними ), а зі стандартною оцінкою коваріаційної матриці. Неві та Вест запропонували наступну оцінку, яка є консистентною в досить широких умовах стосовно природи автокореляції

визначається таким порядком автокореляції, що автокореляцією вищих порядків можна знехтувати. Тобто, наприклад, якщо збурення генеруються процесом- MA(q), то L=q. У випадку авторегресійних збурень визначена L є досить складним питанням. Стосовно вибору “узагальнений–звичайний” можна сказати те саме, що і у випадку гетероскедастичності і оцінки Вайта. Звичайному МНК віддають перевагу при невпевненості щодо характеру автокореляції.

1.5.9.4. Корельованість збурень в моделях з просторовими даними.

Істотна відмінність між просторовими даними і часовими рядами полягає в тому, що в останньому випадку існує єдиний природний спосіб сортування виборкисортування за часом, тоді ж як ситуації зі структурними даними

53

сортування виборки може бути, взагалі кажучи, довільним. Внаслідок цього значення статистики Дуррбіна-Уотсона може визначатись просто способом сортування виборки. Якщо дані є просторовими не має сенсу розглядати збурення як випадковий процес або казати про неправильно визначеу динаміку. Проте, в тому випадку, коли спостереження відсортовані за певною логікою, корельованість залишків може свідчити про проблеми з моделлюнеправильно визначену функціональну форму або пропущені змінні. В такій ситуації можна опинитись якщо дані відсортовані в порядку зростання залежної змінної. Якщо дані відсортовані географічним принципом, корельованість залишків може свідчити про відсутність змінних, які характеризують регіональні відмінності. Цю проблему можна розв’язати шляхом включення до моделі фіктивних змінних.

де m-кількість одиниць серед чисел yi..

Оцінкою (методу) максимальної правдоподібності (ММП-оцінкою)

називається таке значення θ , при якому функція правдоподібності досягає свого максимуму. Іншими словами, за оцінку вибирається таке значення θ , при якому ймовірність спостерігати наявну реалізацію виборки є найбільшою.

Неперервний випадок.

Нехай тепер y1 ,...yn - реалізація виборки з абсолютно неперервного розподілу зі щільністю f (y)= f (y,θ ). Внаслідок незалежності функція спільної

щільності дорівнює ∏n f (yi ,θ ). Остання функція, якщо її розглядати як

i=1

функцію параметра називається функцією правдоподібності:

набуває вигляду

Як і y дискретному випадку, оцінки знаходяться з умови максимізації функції правдоподібності. Зауважимо, що оскільки функція правдоподібності є добутком, то технічно набагато простіше знаходити максимум її логарифму, який досягається при тих самих значеннях параметрів внаслідок монотонності логарифмічної функції

1.6.2. Функція правдоподібності в економетричних моделях

В економетричних моделях спостереження залежної змінної, взагалі кажучі, не є виборкою незалежних однаково розподілених випадкових величин. Тому для знаходження функції спільної щільності пропонується такий підхід. Спочатку слід знайти перетворення вихідної виборки, в результаті якого