Прикладна економетрика - Комашко О. В

В результаті підстановки (2.36) до (2.35) одержуємо

де α0 =α( 1 − λ ); υt = εt − λεt −1

Оскльки модель (2.40) містить лагове значення Yt −1 залежної змінної, вона

Миттєвий мультіплікатор дорівнює β0 .

Рівноважний мультіплікатор:

Якщо записати замість (2.36)

то β інтерпретується як рівноважний мультіплікатор. Тому деякі автори

віддають перевагу останньому формулюванню моделі.

Модель з розподілом лагів Паскаля також можна записати у вигляді авторегресійної моделі.

Згадаймо, що однію з основних переваг моделей з розподіленими лагами є можливість досліджувати розподіл в часі реакції залежної змінної на зміну визначальних факторів. Причиною уведення структур розподілів лагів, розглянутих нами, були такі недоліки моделей з необмеженими лагами як мультиколінеарність і необхідність визначення максимальної довжини лагу (надійність статистичних методів визначення максимальної довжини лагу також зменшується внаслідок мультиколінеарності). Проблема максимальної довжини лагу стосується і моделей з поліномільно розподіленими лагами. Моделі з геометричним розподілом лагів спираються на припущення, що величина реакції з самого початку монотонно спадає в часі. На практиці таке припущення виконується далеко не завжди. Наведемо такий тривіальний приклад. Припустимо, що ми використовуємо щомісячні дані, а максимальна реакція проявляє себе через 4 місяці. Зрозуміло, що в такому випадку найбільший коефіцієнт має бути при Yt-4. Таким чином, на нашу думку розподіл лагів Паскаля є найбільш гнучким засобом моделювання серед розглянутих нами, хоча, як ми побачимо у параграфі 6, в деяких випадках вигляд розподілу лагів можна вивести з економічних міркувань. У наступному підпараграфі ми розглянемо подальше узагальнення розподілу лагів Паскаля.

2.5.3.Оператор лагу і моделі з раціонально розподіленими лагами

Оператор лагу L вводиться для спрощення викладок. Він визначається за допомогою співвідношення

LX t = X t −1

Наведемо деякі корисні алгебраїчні властивості оператора лагу

L( LX t ) = L2 X t = X t −2 , Lp X t = X t − p , Lp ( Lp X t ) = Lp +q X t = X t − p −q , Lo X t = X t , Lp ( aX t ) = aLp X t = aX t −2

де a - костанта.

З використанням оператора лагу основна модель (2.35) набуде вигдяду

i =0

поліном відносно L .

∞

Вираз ∑βi Li як збіжний степеневий ряд можна проінтерпретувати як

i=0

розклад в ряд Тейлора функції β( L ) . Йоргенсон в запропонував розглянути моделі, в яких функція β( L ) є раціональною, тобто

Рівняння (2.51) задає модель з раціонально розподіленними лагами в авторегресійній формі. Ця модель узагальнює дві розглянуті раніше моделі. Поклавши в (2.51) γ( L ) =γ 0 і δ( L ) = 1 −λL одержуємо модель з геометрично розподіленими лагами. Модель з розподілом лагів Паскаля одержуємо, якщо

γ( L ) =γ( 1 − λL )r−1 і δ( L ) = ( 1 −λL )r .

2.6.Моделі з нескінченою довжиною лагів і економічна теорія

Всі моделі з нескінченою довжиною лагів розглягуті вище, вдалось привести до авторегресіної форми.

Відповідні перетворення мали технічний характер, оскільки здійснювались з метою позбутися від нескінченної кількості невідомих параменрів в моделях. В цьому розділі ми розглянемо приклади з економічної теорії, які безпосередньо призводять до авторегресійної форми моделей з розподіленними лагами.

2.6.1.Модель часткового пристосування

Цю модель запропонував Марк Нерль. Він припустив, що поточний

Наприклад, бажаний рівень запасів фірми є функцією від рівня продаж, бажаний рівень капіталу в економіці є функцією випуску.

Однак, бажаний рівень не можна спостерігати і, отже, використовувати для оцінювання. Завдяки різним причинам існує різниця між бажаним і фактичним рівнями залежної зміної:

називається коефіцієнтом пристосування.

Чим γ ближче до одиниці, тим швидше фактичний рівень наближається

Якщо не брати до уваги властивості збурень, то (2.56)є авторегресійною формою моделі з геометричним розподілом лагів.

2.6.2.Модель адаптивних очікувань

В моделі адаптивних очікувань, запропонованій Кейганом, «очікуваний»

довгостркової відсоткової ставки, обсяг попиту є функцією очікуваної ціни, рівень споживання є функцією очікуваного або перманентного доходу.

Кейган припустив, що очікувані значення коректуються з урахуванням

значеням X t −1 .

Рівняння (2.58) відоме як «рівняння адаптивних очікувань» або «рівняння навчання на похибках».

Коефіцієнт δ називається «коефіцієнтом очікувань» . Чим більше δ , тим в більшій мірі реалізуються очікування в період t .

У крайньому випадку δ = 1 всі очікування реалізуються протягом поточного періоду.

звідки видно, що очікуване значення є зваженим середнім фактичного і

Таким чином, ми одержали модель з геометрично розподіленими лагами, записану а авторегресійній формі. Якщо збурення у вихідній моделі (2.62) є класичними (тобто гомоскедастичними і некорельованими), то збурення в моделі, записаній у вигляді (2.61) генеруються процесом MA(1). Однак не слід думати, що модель адаптивних очікувань з необхідністю веде до появи автокорельованих збурень в авторегресійній формі моделі. Наприклад, якщо в

(2.57)

εt= (1-δ) εt-1+ut,

то ut являють собою збурення в моделі (2.61). Зрозуміло, що ut можуть бути некорельованими і гомоскедастичними. Оскільки апріорі невідомо, якими є властивості збурень вихідної моделі в конкретних ситуаціях, то зі сказаного можна зробити висновок, що та чи інша економічна модель, яка призводить до моделі з геометричними лагами, взята сама по собі, не визначає властивості збурень в авторегресійному вигляді останньої. Отже, на нашу думку, правильним підходом буде статистичне визначення властивостей збурень в кожній конкретній ситуації.

2.7. Оцінювання моделей з нескінченною довжиною лагів.

В цьому параграфі ми коротко і досить неформально розглянемо методи оцінювання моделей з раціональними лагами, приділяючи основну увагу найпростішому випадку – моделям з геометричним розподілом лагів. Відразу наголосимо, що необхідною умовою консистентності оцінок методу найменших квадратів і оцінок інших методів є стаціонарність змінних моделі. Отже, важливо пам’ятати, що моделі з розподіленими лагами є засобом дослідження зв’язків між стаціонарними змінними. В протилежному випадку в деяких випадках вдається відшукати “стабілізуючі” перетворення, такі як перехід до різниць (як це робиться при моделюванні Бокса–Дженкінса), або до відносних приростів. Звернімо увагу на те, що в прикладах, розглянутих на початку розділу, деякі змінні відразу розглядались у вигляді приростів, що диктувалось теорією, покладеною в основу відповідних моделей. Якщо змінні стають стаціонарними в результаті виділення детермінистичного тренду, наприклад, лінійного, то проблема вирішується шляхом включення в модель відповідного тренда. Найбільш уживаним способом дослідження залежностей між нестаціонарними змінними є модель корекції похибок.

Як зазначалось вище, моделі з (раціонально)розподіленими лагами можна записувати у двох формах: авторегресійній і рухомого середнього. Тому оцінювати модель можна в будь-якій з цих форм.

7.1. Оцінювання у авторегресійній формі.

Авторегресійна форма моделі з раціонально розподіленими лагами у випадку єдиної пояснюючої змінної має вигляд

де εt – збурення, а кількості k–1 i l лагових значень визначаються на відміну від випадку необмежених лагів вихідним виглядом моделі (у формі рухомого середнього). Наприклад, як ми побачили в параграфі 6, авторегресійна форма моделі з геометричним розподілом лагів є такою

а для лагів Паскаля з r=2 маємо:

Методи оцінювання залежать від стохастичної специфікації збурень. При виконанні класичних умов оцінки методу найменших квадратів будуть консистентними, хоча і зміщеними.

Складнішою буде ситуація у випаку автокорельованих збурень. В цьому місці буде доречним нагадати про некоректність використання критерія Дурбіна–Ватсона для перевірки автокорельованості збурень у випадку наявності лагових значень залежної змінної (див. параграф. 1.5.9)

У численних джерелах можна зустріти твердження про неконсистентність оцінок методу найменших квадратів за умов наявності лагових значень залежної змінної і автокорельованих збурень. Однак, без подальших уточнень, це твердження може виявитись хибним. Так, можна навести приклад структури автокореляції збурень в моделі (2.63), при якій Yt −1 виявляється некорельованим з εt . У такому випадку коректно застосувати звичайний метод найменших квадратів з використанням оцінки Неві–Веста для коваріаційної матриці оцінок параметрів. В інших випадках, наприклад для AR(1) - або для MA(1) – збурень в моделі (2.63), Yt −1 є корельованим з εt . В цій ситуації водночас найбільш простим у практичній реалізації і надійним з теоретичної точки зору є метод інструментальних змінних.

Інструментами для регресора X називаються змінні Z, які корельовані з X, але не корельовані з поточними збуреннями. Для знаходження оцінок потрібно відшукати принаймі не менше інструментів (які відсутні в моделі), ніж кількість ендогенних регресорів, тобто тих, які корельовані з поточними збуреннями. Техніку обчислень простіше за все описати так. Оцінювання здійснюється в два етапи. На першому етапі звичайним методом найменших квадратів оцінюються регресії ендогенних регресорів відносно інструментів, в число яких включають регресори моделі, некореьовані з поточними регресорами (екзогенні регресори). На другому етапі також звичайним методом найменших квадратів оцінюється вихідна модель, в якій значення ендогенних регресорів, замінюються на свої оцінки, знайдені на першому етапі.