Прикладна економетрика - Комашко О. В

Де pt =( pt − pt −1 ) / pt −1 ; pt - загальний рівень цін;

βj ,γ h - параметри.

Вусіх розглянутих прикладах значення залежної змінної визначається значеннями незалежних зміних в поточний момент часу (миттєва реакція), але і значеннями за минулі моменти часу (неперервна або динамічна реакція). Різниця між поточними та минулими моментами часу назівається часовим лагом або просто лагом , а відповідна змінна називаєится лаговою змінною.

2.2. Означення

Моделі регресії з лаговими змінними розрізняються на таки типи; 1. В моделях з розподіленними лагами регресорами є тільки поточні та

минулі значення незалежним змінних. Наприклад, у випадку лише однієї незалежної змінної модель має вид;

i−0

В обох випадках, щоб уникнути прямування ΕYt до нескінченності припустимо, що сумма коефіцієнтів βi є скінченною;

i−0

2.Рівняння (2.4, 2.7, 2.13, 2.15) є прикладами моделей з розподіленними

лагами.

3. Авторегресійні або динамічні моделі. В цих моделях множина регресорів містить одне або більше лагових значень залежної змінної. Наприклад,

Проінтерпретуємо регрессійні коефіцієнти в моделях з розподіленними лагами на прикладі моделі (2.16). В цій моделі за рівності решти умов, якщо Хt збільшиться на одиницю за період t , то ΕYt зміниться на β0 в момент t , на β1

в момент t + 1 і так далі. Визначимо такі характеристики впливу;

•частковий мультіплікатор порядку i . Він характеризує граничний ефект

X t −i на Yt , тобто ∂Yt / ∂X t −1 = βi . Іншими словами, частковий мультиплікатор

характеризує вплив ΕYt одиничного зростання Хt, яке відбулось за i періодів до періоду t ;

•короткостроковий або миттєвий мультіплікатор. Це частковий мультіплікатор порядку i =0 і дорівнює β0 . Тобто, він характеризує вплив на

ΕYt одиничного зростання Хt , яке відбулось в той самий період;

•проміжний мультіплікатор порядку i . Візначається як сума i перших часткових мультиплікаторів ; β0 + β1 + ... + βi . Проміжний мультіплікатор характеризує вплив на ΕYt від зростання Хt на одиницю протягом i періодів перед t ;

•довгостроковий, загальний або рівноважний мультиплікатор

Корисно розглянути також такі міркування. Спочатку, припустимо, що весь час Xs = c , в момент t X зросте на 1, а потім повернеться до попереднього рівня. Тоді βi характеризуватиме різницю між EYt+i та EYt , тобто розподіл реакції в часі на короткостроковий шок і швидкість повернення y до попереднього рівня (пригадаймо, що βi=0 починаючи з деякого k в моделях зі

Для зручності розглянемо модель з однією незалежною змінною

i=0

Існує два підходи до оцінювання МРЛ: необмежений і обмежений. Необмежений підхід використовується, якщо довжина лагу k скінченна і

відсутні обмеження, які стосуються характеру лагової залежності і накладаються на регресійні коефіцієнти моделі. При застосуванні такого підхода розрізняються ситуації в залежності від того, відома чи невідома довжина лагу.

Обмежений підхід використовіється, якщо на регресійні коефіцієнти накладаються обмеження, які стосуються характеру лагової залежності. Ми будемо розрізняти два випадки:

•скінченна довжина лагу;

•нескінчена довжина лагу.

2.3.1. Необмежене оцінювання МРЛ

Припустимо, що збурення задовольняють класичним умовам. У такому випадку можна застосувати звичайний метод найменьших квадратів(ЗМНК), при чому оцінки ЗМНК будуть найкращими лінійними незміщенними оцінками.

2.3.2.Необмежене оцінювання МРЛ у випадку невідомої довжини

лагу

У більшості випадків довжина лагу в моделі (2.23) невідома і, отдже, її слід визначити.

Існують різні методи визначення довжини лагу. Найбільш популярним серед них є підхід, при якому оптимізується певна формальна характеристика. При цьому вживаються такі критерії:

• максимізація виправленного коефіцієнта детермінації

R2 =1 − nn −−q1 ( 1 − R2 );

• мінімізація інформаційного критерія Акайке

AIC = ln( SSRn ) + 2nq ;

• мінімізація критерія Шварца

SC = ln( SSRn ) + qn ln q

де n - кількість спостережень;

q - кількість коефіцієнтів в регресійній моделі;

SSR - сумма квадратів залишків.

Всі ці критерії будуються на компромісі між максимізацією R2 , який зростає при збільшенні кількості змінних в моделі, і принципом економності, тобто недопущенням розростання моделі. Найбільш чуттєвим до включення додаткових лагів є критерій Шварца (при ln( n ) > 2 ), а найменьш чуттєвим -

критерій максимізації R2 .

Приймаючи до уваги той факт, що довжина більшості рядів економічних даних коротка, можна окреслити дві серьозні проблеми, які виникають у випадку великої довжини лагу:

1. Невелика кількість ступенів свободи.

Чим більше довжина лагу, тим меньше кількість ступенів свободи і, отже, тим меньшою є точність оцінок і надійність перевірок гіпотез.

2. Мультиколінеарність.

Чим більшою є довжина лагі, тим з більшою ймовірністю додаткові лагові змінні будуть корельованими. Мультиколінеарність також знижує точність оцінок і надійність перевірок гипотез.

Підводячи підсумок, можна сказати, що внаслідок ненадійності перевірок гипотез збільшення довжини лагу помилково прозводить до висновку при незначучість коефіцієнтів.

З метою вирішення цієї проблеми на регресійні коефіцієнти накладуються обмеження.

2.4.Обмежене оцінювання скінченних МРЛ

За способом накладення обмежень розрізняються моделі з довільно розподіленими лагами і моделі з поліноміально розподіленими лагами.

2.4.1.Моделі з довільно розподіленими лагами.

При застосуванні такого підходу визначення вагів лагових зміних грунтується на певних припущеннях щодо розподілу і часу реакції залежної зміної на зміну незалежної зміної. Найчастіше вживаються такі моделі:

1.Арифметично розподілені лаги.

Вцій моделі, запропонованній Фішером, ваги лінійно спадають:

Модель грунтується на ідеї, що більш недавні знвчення залежної зміної мають сильніший вплив, ніж більш давні.

Підставивши (2.24) до (2.23), одержимо

i=0

Модель (2.25) оцінюється ЗМНК.

Позначимо через b МНК - оцінку β. Тоді

βˆ i =( k + 1 − i )b для i = 0,1,...,k

Де βˆ i i позначимо βi .

2. Розподіл вагів «обернене V ».

В цій моделі, запропонованній Deleuw, ваги спочатку лінійно зростають, а потім спадають:

Підставивши (2.26) до (2.23), одержимо

Де b - оцінка β .

Розглянутий підхід має такі обмеження.

1.Структура вагів має бути апріорі відомою, тобто чи ваги зростають, чи спадають, чи наслідують схемі «оберненого V » тощо.

2.Тип залежності вагів також має бути відомим апріорі, тобто, наприклад, якщо ваги спадають, то чи є спадання лінійним, експоненційним, тощо.

Переваги даного підходу полягають у наступному;

•простота оцінювання;

•можливість знаходити довжину лагу з використанням простих статистичних критерієв, наприклад, R 2 , AIC, SC.

2.4.2.Поліноміально розподілені лаги

В будь-якій моделі з довільними лагами коефіцієнти βi утворюють певну функцію лагового індекса i . Оскільки вибір цієї функції повинен здійснюватися апріорно, то зрозуміло, що цей вибір може бути хибним.

Одним з методів подолання цього недоліка є застосування моделй з поліноміально розподіленими лагами, запропонований Ширлі Алмон.

В різних ситуаціях накладають одне або обидва обмеження (2.33), (2.34). Ці обмеження є лінійними обмеженнями на коефіцієнти моделі (2.29).

Отже, щоб оцінити модель (2.29) потрібно записати модель з обмеженнями і оцінити її, використовуючи ЗМНК.

Після знаходження ai оцінки коефіцієнтів βi обчислюються так, як і в попередньому випадку.

Варто нагадати, що в результаті накладення обмежень зміняться оцінки всіх коефіцієнтів моделі.

Поки що ми вважали довжину лагів і порядок поліному відомими. В реальних ситуаціях ці величини невідомі, отже потрібні методи їх визначення.

Визначення довжини лагів

Спочатку модель оцінюється з використанням необмеженого підходу, отже для визначення довжини лагів використовується методика, розглянута раніше у відповідному розділі.

Визначення порядку полінома

Після того, як довжина лагів k визначена, порядок полінома r < k . Потім послідовно знижуємо порядок полінома на 1 і здійснюємо вибір на основі попередньо визначенного критерія ( R2 , AIC,SC ). На практиці, як правило,

остаточний порядок полінома рідко буває більшим ніж 3.

Проблема неправильної спеціфікації

Проблема неправильної спеціфікації виникає при неправильному визначені довжини лагів і порядку полінома (однієї з цих величин, або обох водночас).

Позначимо через k визначену довжину лагів, а через k справжню довжину. Якщо k > k (включення зайвових змінних), то оцінки незміщені і консистентні, але неефективні.

неконсистентні. Якщо r > r (перепараметрізація моделі), то оцінки будуть незміщеними, але неефективними.

2.5.Моделі з нескінченною довжиною лагів

Моделі зі скінченною довжиною лагів грунтуються на припущенні, що вплив лагових значень незалежної змінної Xt на залежну змінну є незначним для великих лагів, отже відповідні коефіцієнти дорівнюють нулю.

Однак, як ми з’ясували вище, неправильне визначення довжини лагу, тобто різниці в часі, після якої впливами можна знехтувати, призводить до проблем з оцінюванням.

Проблема неправильного визначення довжини лагу відсутня в моделях з нескінченною довжиної лагів (2.18). Для зручності нагадаємо відповідне рівняння

i −0

При спробі оцінити коефіцієнти моделі (2.35) виникає нова проблема: як оцінити нескінченну кількість параметрів βi з використанням скінченної кількості спостережень.

Для вирішення цієї проблеми запропоновано кілько методів.

2.5.1.Геометричний розподіл лагів (розподіл Койка)

Ця модель є найбільш популярною в емпірічних дослідженнях моделей з розподіленими лагами.

Модель було запропоновано Койком, який припустив, що вплив лагових