Прикладна економетрика - Комашко О. В

46

Якщо гіпотеза про стійкість моделі вірна, то

n1 − k

1.3.Асимптотичні властивості МНК-оцінок.

Вбагатьох випадках скінченовимірні властивості оцінок найменших квадратів, описані вище, можуть не зберігатись. Так, якщо збурення не є нормально розподіленими, то і розподіл МНК-оцінки вже не буде нормальним. Якщо порушується умова, що всі xij некорельовані зі всіма εt , математичне

сподівання b не дорівнюватиме β . Більш того, модель лінійної регресії,

збурення в якій задовольняє всі класичні умови є однєю з небагатьох в економетриці, коли відомий точний скінченновимірний розподіл оцінок параметрів.

При послаблені деяких з класичних припущень або при переході до інших моделей скінченновимірні властивості оцінок як правило, невідомі. В таких випадках для характеризації інший підхід, який грунтується на асимптотичній теорії. Асимптотична теорія відповідає на питання, що трапиться, якщо гіпотетично розмір виборки стане нескінченно великим. Асимптотичні властивості використовуються для апроксимації скінченновимірних властивостей.

Консистентність.

Послідовність оцінок θˆn параметра θ , де n - розмір виборки, називається консистентною якщо θˆn збігаються за ймовірністю до справжнього значення параметра:

умови, що забезпечують збіжність n1 X / X , ми наводити не будемо. Зауважимо,

Властивість асимптотичної нормальності дозволяє використовувати стандартні критерії перевірки гіпотез без припущення про нормальність збурень, оскількі відповідні статистики, приблизно, матимуть потрібні розподіли. Припустимо, що крім припущень, уведених у попередньому параграфі виконують припущення про рівність дисперсій і некорельованість збурень. Тоді n(b − β) збігається за розподілом до N (0,σ 2 Σxx

невідома матриця Σxx консистентно оцінюється за допомогою n1 (X T X ), а σ 2

через s2 , то на практиці приблизним розподілом b є

N (β ,s2 (X T X )−1 ),

що співпадає з точною формулою у випадку класичних нормально розподілених збурень.

Моделі в яких порушуються припущення про рівність дисперсії і про некорельованість збурень розглядаються, відповідно, у темах “гетероскедастичність” і “автокореляція ”. В цих ситуаціях поруч зі специфічними методами можна використовувати звичайний метод найменших квадратів, але при цьому слід використовувати інші оцінки коваріаційної матриці b. МНК-оцінки зберігають властивість асимптотичної нормальності: b ≈ N (β, S ),

де замість S слід підставити оцінки, які наведено у відповідних параграфах.

33

1.4. Модель лінійної регресії з гетероскедастичними збуреннями.

1.4.1. Вступ

В цьому розділі ми розглянемо регресійні моделі, в яких порушується припущення 2 – про рівність дисперсій збурень.

Проаналізуємо залежність особистого споживання від доходу. Згадаємо, що збурення в моделі лінійної регресїї можна вважати відхиленням рівня споживання конкретного домогосподарства від середнього рівня, який відповідає даному розміру доходу. Логiчно очiкувати, що для домогосподарств з більшими доходами спостерiгатиметься бiльший розкид рівнів споживання. Отже, оскільки дисперсія збурень є мірою цого розкиду, то припущення про рівність дисперсій збурень в такій моделі буде нереалістичним.

Наведений приклад показує необхідність вивчення нового класу моделей, які узагальнюють класичну модель лінійної регресії – моделей з гетероскедастичними збуреннями.

1.4.2. Опис моделi.

Нам знадобляться наступні позначення. Літерою υ позначимо вектор збурень у вихідній моделі, а літеру ε зарезервуємо для позначення збурень, які задовольняють припущенням 1 – 5 з параграфа 1.2.1.

Розглянемо модель лінійної регресії

або, якщо ми маємо модель з константою,

34

вякій вектор збурень υ = (υ1, υ2. . . υn)T має такi властивостi: 1. Eυ = 0

2. Гетероскедастичність збурень: Dυi = σ2i , i =1, n , σ2i ≠ σ2j при i ≠ j .

3.Незалежність збурень: υі та υj незалежні при i ≠ j .

4.Незалежність збурень та регресорів: xij та υі незалежні для всіх i та j.

5.(Додаткове) Збурення υi нормально розподілені для всіх i. Припущення 2 і 3 зручно записувати у матричному вигляді:

1.4.3. Наслiдки гетероскедастичності збурень на оцiнки методу найменших квадратiв

1.Оцiнки МНК будуть незмiщеними, але не будуть ефективними (не матимуть найменшої дисперсiї).

2.Стандартнi оцiнки коварiацiйної матрицi оцiнки МНК будуть змiщеними, i, як наслiдок, процедури перевiрки гiпотез та iнтервального оцiнювання, основанi на стандартних статистиках, будуть некоректними.

1.4.4. Зважений метод найменших квадратiв у випадку відомої коваріаційної матриці збурень

Припустимо, що коваріаційна матриця збурень вiдома з точністю до коефіціента пропорційності, тобто

де wi2 відомі, а σ2 – невідомий коефіціент пропорційності. В системі (1.73) (або

(1.74)) почленно розділимо i-те рівняння на wi( i =1, n ):

Зауважимо, що оцінка β0 -коефіціента при змінній x0* є оцінкою постійного доданку у вихідній моделі.

Зазначимо, що вектори коефiцiентiв β в моделях (1.73) i (1.77) спiвпадають.

Знайдемо коварiацiйну матрицю збурень ε в моделi (1.775). Спочатку обчислимо

Отже,

36

Крім того,

З (1.83) і (1.84) випливає, що модель (1.77) є моделлю класичної лiнiйної регресiї.

Отже, оцiнки вектора параметрів регресії β, знайдені в моделi (1.77) методом найменших квадратів, мають бажанi статистичнi властивостi, тобто задовольняють теоремі Гауса–Маркова і, що є для нас головним, цими оцінками можна користуватись для статистичних висновків.

Означення.

Оцiнкою зваженого МНК коефiцiентiв моделi (3.1) називається оцінка звичайного МНК, знайдена за моделлю (3.5).

На практицi у бiльшостi випадкiв ваги wi невiдомі. Якщо не робити нiяких додаткових припущень, то їх оцiнити неможливо, тому що іх кількість дорівнює кількості спостережень.

1.4.5. Виявлення гетероскедастичності

Критерії виявлення гетероскедастичності розділяються на дві групи: загальні та регресійні.

Загальні критерії виявлення гетероскедастичності

Загальні критерії відрізняються тим, що при їх формуванні не використовуються припущення про характер гетероскедастичності. В цьому полягає іх перевага. Недоліком є те , що такі критерії лише виявляють наявність гетероскедастичності, але не дають інформації для розв’язання проблеми. В цьому початковому курсі ми розглянемо лише один з цієї групи критеріїв, а саме критерій Голфельда-Квондта.

37

Критерій Голфельда-Квондта.

Його використовують тоді, коли всі наявні спостереження можна розбити за деякою ознакою на дві групи. У випадку однієї незалежноої змінної споcтереження з найменшими значеннями можуть складати одну групу, а другу – спостереження з найбільшими значеннями незалежної змінної. Розбиття можна робити також за значеннями залежної змінної.

Нехай сукупність n спостережень розбита на дві групи об’ємами n1 і n2. Частину спостережень з середніми значеннями можна виключити. В цьому випадку n1 + n2 < n. Для того щоб застосувати критерій Голдфельда-Квондта, необхідно оцінити модель за методом найменших квадратів окремо на кожній підвиборці і знайти

σ$12 – оцінку дисперсії збурень за першою групою спостережень, та

σ$22 – оцінку дисперсії збурень за другою групою спостережень (див. (1.46).

У припущенні,що гетероскедастичність відсутня, статистика

має розподіл Фішера з n1 – k, n2 – k ступенями свободи. Перевірка гіпотези виконується таким чином.

Якщо σ$12 > σ$22 , то обчислюють статистику (1.85) і порівнюють її з критичним значенням Fкр(α,n1 – k,n2 – k), знайденим за вибраним рівнем значущості α в