Прикладна економетрика - Комашко О. В

36

Оскільки середні значення стандартизованих змінних дорівнюють нулю, то модель (1.55) не містить константи. Оцінки коефіцієнтів при стандартизованих змінних обчислюються за наступними формулами :

Зробимо такі зауваження. По-перше, оскільки середньоквадратичні відхилення мають ті самі розмірності, що і змінні, стандартизовані змінні є безрозмірними величинами. По-друге, середньоквадратичне відхилення можна інтерпретувати як типову для даної сукупності спостережень величину зміни змінної. Отже, можна сказати, що коефіцієнти стандартизованої регресії є мірою впливу незалежних змінних в термінах типової величини іх зміни.

Коефіцієнти еластичності.

Нехай змінна y залежить від змінних x1, ...,xk-1: y = f(x1,...,xk-1). Коефіцієнт еластичності змінної y відносно xi визначається так:

Найчастіше використовують коефіцієнти еластичності попиту відносно ціни та доходу в моделях попиту. Коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків зміниться y у відповідь на зміну xi у 1 відсоток за умови, що решта змінних залишиться постійною.

Застосовуючи означення (1.56) до рівняння вибіркової регересії (1.36), одержимо формули для обчислення вибіркових коефіцієнтів еластичності

38

де a = lnA, l = lnL, c = lnC. Якщо ввести до рівняння (1.60) стохастичний доданок, то одержимо модель лінійної регресії:

Щоб перетворити вихідну модель (1.59) на стохастичну, обчислимо експоненту від обох частин рівності (1.61):

Ми бачимо, що модель (1.62) можна звести до моделі лінійної регресіі. Аналогічно можна вивчати досить широкий клас моделей, які за допомогою перетворень змінних та рівнянь можна звести до моделі лінійної регресії. Широковживаним є приклад поліноміальної регресії:

y= β0 + β1x + β1x2 +K+βk −1x k −1 + ε.

1.2.9.Фіктивні змінні.

У попередніх розділах ми розглядали змінні, які можна вимірювати за допомогою кількісних шкал (вартість капіталу, рівень інфляції, обсяг попиту і т.ін.). Однак, у багатьох випадках на поведінку змінної, яку ми вивчаємо впливають якісні фактори, наприклад, наявність або відсутність вищої освіти, статеві, расові відмінності. Для врахування дії подібних чинників застосовують фіктивні змінні. Фіктивні, або бінарні змінні можуть приймати два значення: 0 та 1. Розглянемо декілька прикладів. Нехай ми вивчаємо залежність заробітної платні від віку та рівня освіти за допомогою такої моделі

y = β0 + β1x1 + β2 x2 + ε ,

39

де y – величина зарплатні, x1 – вік у роках, x2 – рівень освіти, який вимірюється у роках навчання. Припустимо, що нам потрібно виявити, чи існує відмінність в оплаті праці між чоловіками і жінками. Для цього ми утворюємо фіктивну змінну D :

D = 1 для чоловіків і D = 0 для жінок. Модель набуде вигляду

y = β0 + β1x1 + β2 x2 + β3 D + ε .

Величина коефіціента β3 показує відмінність у седньому рівні заробітної платні між чоловіками і жінками, які мають однаковий вік та рівень освіти.

Для того, щоб відтворити в моделі вплив якісного фактора, який може приймати m рівнів, в модель потрібно включити m–1 фіктивну змінну.

Розглянемо модель, яка вивчає ринкову вартість квадратного метра житла:

y = β0 + β1x1 +K+βk−1xk−1 + ε.

На ціну квадратного метра житлової площі впливає, на якому поверсі знаходиться квартира, причому важливо, чи є поверх першим, останнім, або ні першим, ні останнім. Тобто фактор «поверх» приймає три значення. Отже, ми формуємо дві фіктивні змінні D1 і D2:

Тепер модель має вигляд

yi = β0 + β1x1 +K+βk −1xk −1 + γ1D1 + γ2 D2 + ε.

За такого вибору фіктивних змінних середня ціна квадратного метра квартири, розташованої на «середньому» поверсі є базовою. За умови рівності змінних

40

(факторів) x1, ...,xk-1 середня ціна квадратного метра квартири, розташованої на першому поверсі відрізняється від базового рівня на величину γ1, а квартири,

розташованої на останньому поверсі – на величину γ2.

Фіктивні змінні також використовують для врахування cезонного ефекту. Наприклад, залежність між змінними x та y на основі щоквартальних даних можна досліджувати за допомогою такої моделі:

При наявності щомісячних даних використовують 11 сезонних фіктивних змінних:

1.2.10.Перевірка гіпотез про лінійні обмеження на параметри

В параграфі 1.2.6 ми побачили, як перевіряти гіпотези про окремо взяті регресійні коефіціенти. Однак, часто з економічних міркувань випливають більш складні обмеження на параметри регресії. Розглянемо кілька прикладів.

41

Неважко показати, що економічна система, яка описується функцією Коба– Дугласа (1.59) має нейтральний ефект від масштабу (ресурси мають постійну ефективність), якщо α +β = 1, негативний ефект від масштабу (ресурси мають спадну ефективність), якщо α +β < 1 і позитивний ефект від масштабу (ресурси мають зростаючу ефективність), якщо α +β > 1. Постає питання: чи в даній економічній системі має місце нейтральний ефект від масштабу? Щоб відповісти на це питання, потрібно в моделі лінійної регресії (1.61) перевірити гіпотезу

Гіпотеза (1.64) є прикладом гіпотези про лінійне обмеження на параметри регресії, яка у загальному випадку записується так:

k −1

∑rjβj = q , де rj, j = 0, k −1 та q – відомі числа,

j =0

Нерідко виникає потреба перевірити гіпотезу про те, що кілька лінійних обмежень виконуються водночас, іншими словами, гіпотезу про сукупність лінійних обмежень. Так, відсутність сезонного ефекту в моделі (1.63) означає, що коефіціенти при сезонних фіктивних змінних дорівнюють нулю водночас. Отже перевірка твердження про відсутність сезонного ефекту зводиться до перевірки наступної гіпотези:

γ = 0 H0: γ12 = 0 .

γ = 0

3

42

У матричному вигляді гіпотеза про сукупність лінійних обмежень записується так,

Rβ=q,

де R i q відомі. Кількість рядків матриці R дорівнює кількості обмежень, а

кількість стовпчиків – кількості компонент β.

Оскільки рівняння вібіркової регресії є рівнянням лінійної функції, то модель лінійної регресії має наступну властивість. При зміні xj на одиницю y зміниться на bj, якими б не були значення решти змінних. Оскільки різні фактори часто взаємодіють між собою, дана властивість не завжди є реалістичною. Тому, щоб відобразити цю взаємодію, доцільно також спробувати включити до моделі добутки вихідних незалежних змінних як нові незалежні змінні. Наприклад, разом з моделлю.

y = β0 + β1x1 + β2 x2 + β3x3 + ε

можна розглянути модель

y = β0 + β1x1 + β2 x2 + β3 x3 + γ1x1x2 + γ2 x1x3 + γ3 x2 x3 + ε. (1.65)

Якщо в моделі (1.65) x1 зміниться на одиницю, а x2 та x3 залишаться постійними, то y зміниться на β1 + γ1 x2 + γ2 x3. Отже, величина зміни незалежної змінної залежить від значень x2 та x3. Цей ефект виникає внаслідок того, що різні незалежні змінні взаємодіють між собою. Щоб перевірити, чи є взаємодія несуттєвою, потрібно перевірити гіпотезу

γ = 0 H0: γ12 = 0 .

γ = 0

3

44

В залежності від наявного програмного засобу зручніше використовувати перший чи другий варіант формули. Опишемо, як скористатись другим способом. Для цього треба знайти суму квадратів залишків RSSU у вихідній моделі та суму квадратів залишків RSSR y моделі з обмеженнями. Запишемо обмеження у такому вигляді:

β1 = 3β3 та β2 = 2 − 4β3 .

Підставимо ці співвідношення до рівняння (1.66)

Перенесемо в (1.69) всі відомі величини до правої частини рівняння і зберемо подібні при параметрах регресії в його лівій частині:

y − 2x2 = β0 + (3x1 − 4x2 + x3 )β3 + ε

Щоб знайти суму квадратів залишків RSSR y моделі з обмеженнями, потрібно оцінити регресію змінної ( y − 2x2 ) відносно (3x1 − 4x2 + x3 ) і константи.

1.2.11 Перевірка гіпотез про стійкість моделі

Припустимо, що ми хочемо побудувати модель деякої економічної системи за даними, що є часовими рядами. Нехай, наприклад, потрібно оцінити макроекономічну виробничу функцію для деякої країни за щорічними даними, причому на протязі періоду, який досліджується, відбулась економічна реформа. Природньо постає питання: чи маємо ми право користуватись єдиною моделлю на протязі всього періоду часу. Відповідь на подібні питання можна одержати за допомогою дослідження моделі на стійкість.

Критерій дисперсійного аналізу (критерій переломної точки Чау)

Розглянемо модель

j =0

У нашому розпорядженні є n спостережень, які розбито на дві групи з n1 та n2 спостережень відповідно (n = n1 + n2). Гіпотеза про стійкість моделі полягає у тому, що параметри регресії однакові для обох груп спостережень. Для перевірки гіпотези потрібно оцінити модель (2.42) тричі: за всіма спостереженнями і кожною групою окремо. Введемо такі позначення:

RSS – сума квадратів залишків у моделі, яка оцінена за всіма n спостереженнями,

RSS1 – сума квадратів залишків у моделі, яка оцінена за першими n1 спостереженнями

RSS2 – сума квадратів залишків у моделі, яка оцінена за останніми n2 спостереженнями.

Якщо гіпотеза про стійкість моделі вірна, то

n − 2k

Прогностичний Критерій Чау

Застосовується у випадках, коли одна з двох груп нараховує невелику кількість спостережень, недостатню для знаходження оцінок. Нехай, для визначеності, n1 > n2. Для перевірки гіпотези потрібно оцінити модель (1.70) двічі: за всіма спостереженнями і за більшою групою. Позначимо :

RSS – сума квадратів залишків у моделі, яка оцінена за всіма n спостереженнями,

RSS1 – сума квадратів залишків у моделі, яка оцінена за більшою групою з n1 спостереження.