Основы страховой (актуарной) математики - Г.М.Кошкин

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Г.М.Кошкин

ОСНОВЫ СТРАХОВОЙ МАТЕМАТИКИ

Учебное пособие

Томск - 2002

ÓÄÊ 519.25 ÁÁÊ 32.973 Ð 47

Кошкин Г.М.

Р 47 ОСНОВЫ АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКИ: Учебное пособие / Томск: Томский государственный университет, 2002. 116 с.

В учебном пособии дается элементарное введение в страховую (актуарную) математику, которая вместе с соответствующими экономиче- скими и юридическими дисциплинами является одной из теоретических основ страхового бизнеса. Пособие предназначено для студентов Международного факультета управления (специальность "Государственное муниципальное управление") и факультета прикладной математики и кибернетики (специальность "Применение математических методов и исследование операций в экономике"). В конце каждой главы приводятся контрольные задания, которые могут использоваться при проведении практических занятий.

Учебное пособие может быть полезно также специалистам и аспирантам, которые интересуются приложениями математической статистики при разработке и исследовании математических моделей страховой математики.

c Г.М.Кошкин, 2002

1 ВВЕДЕНИЕ В СТРАХОВОЕ ДЕЛО

1.1Предмет актуарной математики

Âучебном пособии даются начальные сведения о математических методах и моделях, используемых в страховании. Общепринятое название этого научного направления актуарная математика (actuarial mathematics) и происходит от actuary актуарий, статистик страхового общества. Вместе с соответствующими экономическими и юридиче- скими дисциплинами актуарная математика образует более широкую область знаний актуарную науку (actuarial science), которая является теоретической основой страхового бизнеса.

Хотя актуарная математика широко использует методы теории вероятностей и математической статистики, она является самостоятельным научным направлением со своими предметом, методами и сферой применений.

Актуарное образование в мире имеет вековые традиции. Однако в нашей стране с почти 70-летним отсутствием свободных рыночных отношений актуарное образование и актуарная наука практически отсутствовали до 90-х годов XX века. В настоящее время появился огромный интерес к этой сфере деятельности, что связано с большой потребностью в специалистах-актуариях со стороны страховых компаний, число которых в России уже составляет несколько тысяч.

Самый высокий мировой стандарт профессиональной подготовки в области актуарной науки дает, по-видимому, программа Общества Актуариев (США). Отметим, что Общество Актуариев довольно жестко предписывает при изучении курса "Актуарная математика"использовать фундаментальную монографию [1].

Êнастоящему времени имеется литература и на русском языке [2] [6], правда, труднодоступная студентам, а также всем желающим изу- чить страховую математику.

При написании пособия использовалась фундаментальная монография [1], книги [2] [4], а также другие работы, ссылки на которые при-

3

водятся по мере необходимости.

Различают актуарную математику в имущественном и личном страховании. Под имущественным страхованием (non-life insurance) понимаются все виды страховой деятельности, не связанные с личным страхованием (страхование жилья, автомобилей, предприятий, банковских капиталов и т.п.). Под личным страхованием (life insurance) понимается страхование жизни, здоровья, пенсий и т.п.

Определение 1.1.1 Денежные суммы или величины p1;

КупивЯсно,за что величины bj >> pj; иначе никто не будет страховаться. риска финансовыхp рублейпотерь,страховойсвязанныхполис, застрахованныйснеопределенностьюизбавилстраховогосебя от

случая. Этот риск (risk) приняла на себя страховая компания, для которой риск заключается в случайности иска (claim), который может быть ей предъявлен.

В актуарной математике особое внимание уделяется стандартизации терминологии и обозначений. Для того, чтобы упростить общение между актуариями, облегчить внедрение результатов научных исследований и т.п., еще в 1898 году международный актуарный конгресс решил стандартизировать терминологию и обозначения основных величин, встречающихся в страховой математике. В пособии встретится большое число таких обозначений, порой довольно необычных. Свободное владение этими понятиями и обозначениями является важной неотъемлемой частью профессиональных знаний актуария. Поэтому необходимо обратить серьезное внимание на проблему запоминания терминов и обозначений.

1.2 Простейшая модель страховой компании

В страховой математике решаются следующие основные проблемы.

1. Нахождениеплатой "правильного"соотношения между премией p и вы- брутто-премий,b; p <<расчетb: Сюдавыплат,входят,которыенапример,можетрасчетпозволитьнеттосебе-премий,стра-

ховая компания и т.д. Заметим, что нетто-премия соответствует нулевой средней прибыли компании.

4

2.Расчет вероятности разорения, которая служит основой для принятия важнейших решений. Если обозначить через U капитал компании или ее резерв, а через

S = b1 + b2 + + b

грубосуммувероятностьвыплат, гдеразоренияb искравнаj-го страхуемого к компании, то

j

разорения равна P(S > U); а вероятность не P(S U): Понятно, что

P(S > U) + P(S U) = 1:

течениеU = pn: годаОбозначим через bi = 1 иски, предъявляемые к фирме, если в Воспользовавшисьi-ый клиенттаблицейумрет.смертности из Приложения 1, для лю-

áîãî i = 1; : : : ; n находим

P(bi = 1) = q26 = 0; 00293; P(bi = 0) = p26 = 1 q26 = 0; 99707:

Вероятность того, что компания не разорится, равна

Ebi = 1 q26 + 0 p26 = q26 = 0; 00293;

Dbi = Ebi (Ebi)2 = 0; 00293 (0; 00293)2 0; 00292:

5

т.е.ще говоря,среднееуказываети дисперсияна пуассоновостьслучайной величиныраспределенияS совпадает, что, вообвоспользуемся центральной предельной теоремой, в силуS: Длякоторойпростоты

>>

>>

>>

>>

:;

Åñëè b = 100000 руб., то премия

p = 100000 0; 00453 453 ðóá. â ãîä,

ентыили приблизительнои с небольшим доходом38 рублей. в месяц, что могут позволить себе кли-

7

1.3 Контрольные задания

Задание 1.3.1

Составьте различные риски для: 1) студента, 2) шахтера,

3) водителя автомобиля,

4) семьи,

5) организации,

6) области,

7) страны,

8) человечества в целом.

Задание 1.3.2

Почему нельзя получить страховку для защиты от риска застрелить завтра одну из собак вашего соседа?

Какие риски страхуются частично? Какие риски страхуются обязательно?

Задание 1.3.3

Какие из составленных Вами в задании 1.3.1 рисков: 1) страхуемые, 2) нестрахуемые,

3) частично страхуемые,

4) обязательно подлежащие страхованию.

Задание 1.3.4

зоренияПометодологии0,05 и 0,01 разделадляженщин1.2 найдитевозрастапремии p при вероятностях ранительный анализ полученных для женщинxрезультатов= 26 лет. Проведитес результатамисрав-

для мужчин из раздела 1.2.

Задание 1.3.5

Постройте модель работы страховой компании, считая, что распределениев этом случаесуммарныхв условияхвыплатразделаS является1.2 пуассоновским. Убедитесь, что

разорения 0,05 и p 114 руб. при вероятности p 130 руб. при вероятности разорения 0,01.

8

2ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТИ ЖИЗНИ

2.1 Функция выживания (survival function)

Прежде всего отметим, что рассматриваемые в страховании жизни методыобозначаети моделипродолжительностьприменимы и жизни,кдругим видам страхования. Пусть X

Xi продолжительность жизни iмер,-го понимать:индивидуума. В других видах страхования под X можно, напри-

F (x) = P(X x):

В актуарной математике обычно используют вместо функции распре- 9

деления функцию выживания

Индивидуумакоторая есть вероятностьв возрасте того, что человек доживет до возраста x лет. Формулу для функцииx летвыживанияв актуарноймы поместилиматематикевобозначаютрамку,так как(x).

тематикиs(x) является.В дальнейшемодним из основныхформулы,терминовна которыеи обозначенийследует обратитьактуарнойособоема-

внимание будут обрамляться подобно (2.1.1).

Функция выживания как дополнительная функция к функции распределения обладает свойствами:

1)2) s(x) убывает (нестрого);

3) s(0) = 1; s(1) = 0;

Однакоs(x) непрерывнадля реальногосправапроцесса. смертности свойства 1) и 3) несколь-

В какой-то степени о характере реальных зависимостей функций выдляживаниямужчинот возрастаи женщинx можноСССР судить(19841985поприведеннымг.), а также нижедлянаселениятаблицам

ÑØÀ.

10