Добавил:

Teana Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Таврический Национальный Университет им. В.И. Вернадского

Предмет:

Экономика

Файл:

Основы страховой (актуарной) математики - Г.М.Кошкин

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.05.2014

Размер:

634.88 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

ex:ne< n;

2)åñëè n = ! è x = 0; òî e0:!e=e = !=2;

Также3) еслинетрудноx = ! n;получитьтоe выражение= n=2: для дисперсии:

(! n):ne


D min(T (x); n) =	n3		n4
				:	(3.4.2)
	3(! x)	4(! x)2		:	(3.4.2)
Из формулы (3.4.2) следует, что при n = ! è x = 0
!2
D min(T (x); !) =			;
D min(T (x); !) =			;

т.е. получаем известный результат для дисперсии равномерного закона распределенияРассмотримнадляинтервале (0; !):

! = 90 лет два конкретных случая при n = 5 è nжительностей= 10 лет. Значенияжизни,среднихвычисленныеи дисперсийпо формуламчастичных(3.4.средних1)и (3.4.продол2),для-

ряда возрастов и n = 5; 10 сведены в следующую таблицу:

x	0	10	20	30	40	50

ex:5e	4,853	4,844	4,812	4,792	4,750	4,688
D min(T (x); 5)	0,444	0,496	0,563	0,651	0,771	0,943

ex:10e	9,445	9,375	9,286	9,167	9,000	8,750
D min(T (x); 10)	2,777	3,836	4,252	4,861	5,666	6,771

60	70	80	85	90
4,583	4,375	3,750	2,500
1,215	1,632	3,604	2,080
8,333	7,500	5,000
8,333	13,542	8,333

3.5Округленное остаточное время жизни, его распределение, среднее и дисперсия

Врассматриваютактуарной математикеего целую частьнаряду с остаточным временем жизни T (x)

ленной остаточной продолжительностьюK(x) = [T (xжизни)]; которую(curtateназывают-future-округlifetime)- .

Это связано со следующими причинами:

1) человек обычно считает свой возраст в целых годах;

2) договоры страхования жизни, как правило, заключаются на целое число лет;

и поэтому

P(K(x) = k) = P(k T (x) < k + 1):

P(K(x) = k); k = 0; 1; 2; : : :

3) в ТПЖ приводятся данные для возрастов в целых годах. образом,Если Tслучайная(x) = 10 летвеличина9 месяцев = 10; 75 ëåò, òî K(x) = 10 лет. Таким

личиной, принимающей целыеKзначения(x) является.Как известно,дискретнойисчерпывающейслучайной ве-

характеристикой такой случайной величины является набор вероятностей

Понятно, что

Òàê êàê T (x) непрерывная случайная величина, то

P(T (x) = k) = P(T (x) = k + 1) = 0;

P(K(x) = k) = P(k < T (x) k + 1) =

= s(x + k) s(x + k + 1) = kpx k+1px: s(x)

и округленногоТеперь, учитывая,временичтожизниX = T (0); можно определить распределение

K(0) = [X] :

P(K(0) = k) =	s(k) s(k + 1)	= s(k)	s(k + 1) =	lk lk+1	=	dk	:
	s(0)
				l		l

Íî òàê êàê dx l f(x); òî

P(K(0) = k) f(k);

(3.5.1)

стигде приближенногоf(x) плотностьравенстваслучайной(3.5.1),величинывообще говоря,X; причемправильнеев правойписатьча-

f(kПоэтому) 1 ãîä; такравенствокак в его3.левой5.1подразумевает,части находитсячто безразмерная величина.

P(K(0) = k) f(k) 1ãîä;

откуда видно, что кривая смертей тесно связана с распределением округленного времени жизни.

остаточнойСреднее случайнойпродолжительностьювеличины K(жизниx) называется,обозначаетсясредней округленной

ex = E K(x);

и согласно определению математического ожидания для дискретной случайной величины

ex = k P(K(x) = k):

k=1

	Òàê êàê	s(x + k) s(x + k + 1)
	P(K(x) = k) =
è		s(x)

k[s(x + k) s(x + k + 1)] = 1 s(x + 1) + 2 s(x + 2) +

k=1

1 s(x + 2) 2 s(x + 3) = s(x + k);

òî				k=1
				k=1

	1		1
			X
	ex =	s(x)	s(x + k):
Аналогично находится			k=1	момент:

	второй начальный
1
		X	k2 P(K(x) = k) =
E [K(x)]2 =			k2 P(K(x) = k) =

k=0

= 1 s(x)

( 1

)

	k2 s(x + k) k2 s(x + k + 1) =
k=0	k=0

( 1

= 1 Xk2 s(x + k) s(x)

k=0

X			X
(k + 1)2 s(x + k + 1) + (2k + 1) s(x + k + 1) =
k=0			k=0
1		1	2			1
		X			X
=	s(x)	(2k 1) s(x + k) =		s(x)		k s(x + k) ex;
òàê êàê		k=1			k=1
		k=1			k=1
1		1				1
X		X				X
k2 s(x + k) (k + 1)2 s(x + k + 1) +						(2k + 1) s(x + k + 1) =
k=0		k=0				k=0
			33

=12 s(x + 1) + 22 s(x + 2) + 32 s(x + 3) +

12 s(x + 1) 22 s(x + 2) 32 s(x + 3)

+ 1 s(x + 1) + 3 s(x + 2) + 5 s(x + 3) + = (2k 1)s(x + k):

Теперь легко получаем дисперсию			k=1
Теперь легко получаем дисперсию

	2		1
			X
	D K(x) = E [K(x)]2 ex2 =	s(x)	k s(x + k) ex ex2 :
			k=1

Все числовые характеристики округленного времени жизни выражаются через функции выживания, поэтому, в силу равенства (2.1.2), их также можно находить и по данным ТПЖ. В частности,

e = l

ex = lx k=1 lx+k;

k=1 lk;

E [K(x)]2 = lx

k lx+k ex;

E [K(0)]2

= l

k=1

k lk e :

k=1

Пример 3.5.1. По данным ТПЖ (Приложение 1) отдельно для

мужчин и женщин найдите:

2)1) дисперсиисредниеокругленныеокругленныхпродолжительностипродолжительностейжизнижизниe89; e88; e84;

Р е ш е н и е. Для мужчин:

DK(89); DK(88):

290

= 0; 2;

DK(89) =

2 290

0; 2

(0; 2)2 = 0; 16;

1449

e88 =

1449 + 290

= 0; 48;

3623

DK(88) =

2(1 1449 + 2 290)

0; 48

(0; 48)2 = 0; 41;

3623

e84 =

9063 + 7546 + 6037 + 3623 + 1449 + 290

= 2; 6:

Для женщин:

10735

806

= 0; 2;

DK(89) =

2 806

0; 2

(0; 2)2 = 0; 16;

4030

e88 = 4030 + 806 = 0; 48; 10075

DK(88) = 2(1 4030 + 2 806) 0; 48 (0; 48)2 = 0; 41; 10075

e84 = 24265 + 20988 + 16791 + 10075 + 4030 + 806 = 2; 75: 27665

3.6 Контрольные задания

Задание 3.6.1

Предположим, что кривая смертей описывается формулой

	x
f(x) =	a2 e x=a; x 0:

ни 1) Найдите функцию распределения Fx(t) остаточного времени жиз- T2)(xПокажите,) = X x:что плотность распределения остаточного времени жиз-

íè fx(t) = dtFx(t) является взвешенной суммой экспоненциальной плот- ности a1 e t=a и эрланговской плотности at2 e t=a:

3) Найдите вероятность P (T (x) > t); предел lim P (T (x) > t) и выясните, можно ли применять такую аппроксимациюx!1кривой смертей для больших возрастов x:

Задание 3.6.2

Используя ТПЖ Приложения 1 оцените вероятности того, что индивидуум (21):

1) доживет до 70, 80, 90 лет;

2) умрет до 70, 80, 90 лет; 3) умрет от 60 до 70, от 70 до 80, от 80 до 90 лет.

Задание 3.6.3

Раскройте смысл следующих обозначений актуарной математики:

q60 q80 p21; 5p21; q21; 5q21; 1jq21; 3jq25; 3j4q29; q20 ; q20 :

Используя ТПЖ Приложения 1 оцените приведенные выше величины.

	Доказать, что	Задание 3.6.4
	Доказать, что	tjuqx = tpx uqx+t:
		tjuqx = tpx uqx+t:

Задание 3.6.5

Используя выбранную из Задания 2.18.1 какую-либо таблицу для функции выживания определить вероятность того, что остаточное время70 дожизни80 лет(20). лежит в промежутке от 30 до 40 лет, от 40 до 50 лет, от

Задание 3.6.6

Найдите дисперсию частичной продолжительности жизни в модели де Муавра, постройте ее графики в зависимости от возраста страхующегося для n = 5 è n = 10 ëåò.

				Задание 3.6.7
Пусть функции выживания задаются формуламè:
s1	(x) = a		e x=a;	x 0; s2(x) = r1 110; 0 x 110:
		x + a			x

Найдите:

1) среднюю продолжительность жизни

2) полную вероятную продолжительность ;жизни

3) дисперсию среднего остаточного времени жизниx;

DT (x);

4)частичную среднюю продолжительность жизни

5)дисперсию частичной продолжительности жизниex:ne;

Dfmin(ИзобразитеT (x); n)графическиg. полученные зависимости, проведите сравнительный анализ.

Задание 3.6.8

По данным ТПЖ (Приложение 1) отдельно для мужчин и женщин найдите:

1) средние округленные продолжительности жизни e ; e10; e21; e40; e70;2) дисперсии округленных продолжительностей жизни

DK(0); DK(21);

DKОбсудит(70); DK(84):

4 ДРОБНАЯ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ ЖИЗНИ

4.1Сплайновые аппроксимации для дробных возрастов (fractional ages)

(в годах),Реальнаячтостатистикаобусловленодоступнакак определеннымиобычно толькотрадициямидля целыхизначенийудобствомx

сбора статистических данных, так и формой их представления в ТПЖ, большинствогде аргументыклиентовx; как правило,в свой деньпринимаютрождениязначенияв страховую0; 1; 2компанию; : : : : Так какне

приходят, то для работы с конкретными индивидуумами нужно уметь находить приближения некоторых вероятностных характеристик для дробныхРассмотреннаявозрастовзадачапоих известныместьтипичнаязначениямзадачадляинтерполяции,целых x: причем

такможнокакограничитьсядругие величиныее решениемможно выразитьтолькодлячерезфункции выживания s(x), В актуарной математике эту задачу решают сs(помощьюx). òàê íàçû-

ваемых сплайнов. Рассмотрим три постулата, дающие различные приближения:

1. равномерное распределение смертей,

2. постоянная интенсивность смертности,

3. предположение Балдуччи (Balducci).

Равномерное распределение смертей

В этом случае функция выживания интерполируется линейной функ- s x) = a +èçbÒÏÆ),x ïðè nсоставляемx n +уравнения1. Òàê êàê s(n) è s(n + 1)

известныцией вида(например,n n

an + bnn = s(n)

an + bn(n + 1) = s(n + 1)

и определяем неизвестные		an	è	bn (вычитаем из второго уравнения пер-
вое уравнение):
	bn = s(n + 1) s(n);
	an = s(n)(n + 1) s(n + 1)n:
Отметим,Следовательно,что	на отрезке
bn < 0:

руется линейным сплайном видаn x n + 1 функция s(x) аппроксими-

s(x) = (n + 1 x)s(n) + (x n)s(n + 1);	(4.1.1)
38

nностиx n + 1: Отсюда для кривой смертей f(x) и интенсивности смерт-x получаем соответственно:

	0
f(x) = s (x) = s(n) s(n + 1); n < x < n + 1;
x =	f(x)		=		s(n) s(n 1)		=

	s(x) (n + 1				x)s(n) + (x n)s(n + 1)
=				s(n) s(n + 1)			:	(4.1.2)
Таким образом,(n +		1)s(n) ns(n + 1) x[s(n) s(				n + 1)]
n < x < n + 1:		f(x) = bn = s(n) s(n + 1);
						s(n) s(n + 1)
С помощью ранее введенной величины qn =
ной вероятности того, что человек в возрасте						s(n)		, ðàâ-

ближайшего года, преобразуем формулу (4.1.2) кnболеелетумретудобномув течениивиду:

x =	s(n) s(n + 1)	=	qn	;
	s(n) + (x n)(s(n + 1) s(n))		(x n)qn
		1

интенсивностиn < x < n + 1:смертностиВидим, что такое приближение влечет возрастание

		(4.1.3)
x =	qn	(4.1.3)
	qn
	1 (x n)qn

между узлами интерполяции (n < x < n+1), а плотность распределения

f(x) =

const не меняется, причем в целочисленных точках

f(x)

íå

определены.

Заметим, что qn > s(n) s(n + 1), òàê êàê s(n) < 1:

Постоянная интенсивность смертности

ane bnx. Ïðè ýòîì

n + 1 убывающей

показательнойПриблизимфункциейфункцию s(x) на отрезке n

уравнения принимают вид

ane bnn = s(n)

ane bn(n+1) = s(n + 1);

и, разделив второе из них на первое, получаем

n + 1)

s(n + 1)

bn = ln

; an = s(n)ebnn = s(n)

;

s(n)

n <Заметим,x < n + 1÷òî; т.е. между узлами интерполяции

ò.å.	b		=	ln p	; a = s(n)p n;
		n
				n	n	n

гдекрайнейp естьмеревероятностьеще один годтого,. что человек в возрасте n лет проживет по

В этом случае

s(x) = a	e bnx = s(n)p ne(ln pn)x = s(n)px n; n			x		n + 1;
n	n	n

и основные вероятностные характеристики приближенно выражаются следующим образом:

s(x) = s(n)px n;

n + 1;

f(x)

f(x) =

s0(x) =

s(n)px n ln p

;

ln p

;

s(x)

x = const.

ln pn > s(n) ln pn, òàê êàê s(n) < 1.

Предположение Балдуччи

В этом случае линейной функцией вместо s(x) интерполируется

s 1(x): Формально заменяя в (4.1.1) s(x) дим к соотношению

	1	=	n + 1 x	+	x n	;
s(x)		=	s(n)	+	s(n + 1)	;
s(x)			s(n)		s(n + 1)
откуда

íà

s(x), немедленно прихо-

n x n + 1;

s(x) =

s(n)s(n + 1)

s(n + 1)

(n + 1 x)s(n + 1) + (x n)s(n)

(n + 1 x)pn + x n

s(n + 1)

; n x n + 1;

pn + (x n)qn

f(x) =

(x) =

s(n)s(n + 1)(s(n) s(n + 1))

(s(n + 1)(n + 1

x) + (x

n)s(n))2

s(n + 1)qn

; n < x < n + 1;

(pn + (x n)qn)2

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 124 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Экономика

#
24.05.20141.83 Mб5761Основы рекламы - Антипов К.В..doc
#
24.05.20145.93 Mб255Основы рекламы - Мудров А.Н..doc
#
24.05.2014844.09 Кб38Основы рыночного ценообразования - Шеховцева Л.С.pdf
#
24.05.2014278.55 Кб34Основы рыночной экономики - Марголин Ф.Б. и др..pdf
#
24.05.20141.35 Mб230Основы статистики - Кошевой О.С..pdf
#
24.05.2014634.88 Кб62Основы страховой (актуарной) математики - Г.М.Кошкин.pdf
#
24.05.20142.01 Mб53Основы страховой деятельности - Грищенко Н.Б..pdf
#
24.05.20142.01 Mб145Основы страховой деятельности - Грищенко Н.Б.pdf
#
24.05.20141.21 Mб201Основы теории коммуникации - Николаева Ж.В..pdf
#
24.05.2014234.36 Кб54Основы теории коммуникации - Шпаковская С.В., Шпаковский В.О..pdf
#
24.05.201419.75 Mб38Основы управления финансами - Ван Хорн Дж. К..pdf