Основы страховой (актуарной) математики - Г.М.Кошкин
.pdf
Ej n j ! 0
приТеоремаn ! 1: 3П (теорема 2.1.1 из [32]). Если
H(z) 2 N1;s( ); H(1)( ) 6= 0, òî |
dn(xn ) =) Ns f ; g ; |
||||||
|
|
|
8 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
s |
s |
|
= |
|
|
|
< |
X |
|
||
dn (H(xn) H( )) =) N1 |
|
X |
|
|
|||
|
Hj( ) j; |
Hj( )Hp( ) jp : (Ï.1) |
|||||
|
|
|
:j=1 |
j;p=1 |
|
; |
|
Теорема 4П [34]. Пусть |
fTn; n = 1; 2; : : :g |
последовательность |
|||||
статистик такая, что |
p |
|
|
|
|
||
dn " 1 |
|
. Тогда, если |
|
|
|
||
довательность |
dn [Tn ] =) N1 0; 2( ) |
; числовая после- |
|||||
щая первую производную. Пусть g функция одной переменной, имею-
|
|
|
|
|
|
g0 |
|
|
|
|
|
g0( ) = 0, òî |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
p |
|
[g (Tn) g( )] =) N1 n0; [g0( ) ( )]2o: |
|||||||||||||
dn |
|||||||||||||||
Если, кроме того, g0 непрерывна, то |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
p |
|
|
[g ( n) g( )] |
= |
|
|
||||||||
|
dn |
|
0; 2( ) ; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
g0T(Tn) |
|
|
|
) N1 |
|
|
|
|||
à åñëè è ( ) непрерывна, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
p |
|
[g (Tn) g( )] |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
dn |
= |
|
0; 1 |
g |
: |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
g0 ( n) ( |
T |
n) |
) N1 f |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 1П. В [34, c. 335], приводится аналогичный результат приТеоремаd = n. 5П . Пусть выполнены следующие условия:
n
1
1) H(z) 2 N2;s( );
для некоторого
2) M |
x |
= O d m=2 |
m |
|
3; m |
2 |
N; |
|
|||
|
|
m k nk |
|
n |
|
|
|
|
|
||
4) |
= n = Cdn |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||
3) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
H( ) 6= 0 èëè 2 N+. Тогда для любых ( ; k) 2 T (m) |
|
|||||||||
E h (xn; ) H( )ik E rH( )(xn )T k |
|
= O dn (k+1)=2 |
; (Ï.2) |
||||||||
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ãäå e(xn; ) = H(xn)= (1 + jH(xn)j ) ; > 0; > 0; 1; > 0:
1Согласно обозначений на стр. 92.
111
Сформулируем двумерную центральную предельнуюn теорему в схемеследовательностьсерий в следующихнезависимыхобозначениях:одинаковоf распределенных; g ; n = 1;двумерных2; : : : ïî-
j;n j;n j=1
векторов в схеме серий (распределение ( j;n; j;n) зависит от n); n = nE ( 1;n; 1;n)T ( 1;n; 1;n) ; здесь T знак транспонирования; k(; )k =
p |
|
|
||||||||||
2Теорема+ 2: 6П [9] (двумерная центральная предельная теорема в схе- |
||||||||||||
ме серий). |
|
|
|
|
E k j;n; j;nk |
2 |
|
|
||||
Линдеберга:1) |
для любого |
2) |
< 1; |
3) выполнено |
||||||||
|
||||||||||||
условияПусть: |
E ( j;n; j;n) = (0; 0); |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
ïðè n ! 1: |
|
|
|
||||
|
|
|
nE k j;n; j;nk2 ; k j;n; j;nk > ! 0; |
|
||||||||
4) n ! = |
21 |
22 |
: Тогда вектор |
n |
|
|
|
|||||
j=1 ( j;n; j;n) имеет двумер- |
||||||||||||
|
|
|
11 |
12 |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ное предельное нормальное распределение |
N2 f(0; 0); g : |
|
||||||||||
112