Основы страховой (актуарной) математики - Г.М.Кошкин

1) h

1

N =

(

!

N

Z

f( ) (x + ( 1) uhN ) f( )(x) u K(u)du;

1 h

i

0 < < 1:

1

Òàê êàê

Z

ju K(u)j du < 1; а для каждого x 2 R1 ïðè N ! 1

1

( )

uhN ) ! f

( )

(x)

условия 3):

Ñ ó÷å-

fруемой(x + ( 1)

сходимости выполнены,,и,тоследовательно,условия теоремы Лебега о мажори-

том того, что сумма в (6.6.13) равна нулю (из

j N j = o (hN ) :

Ti

= 0; i =

плотность

K(uПример) такие, что6.6.K1.(ußäðî) 2 A- ;

4:

K(u) 2 A2; åñëè

sup K(u)

< 1; K(u) = K( u)

è

2

u

Z u K(u)du < 1:

Пример 6.6.2. Ядро K(u) 2 A4; åñëè

2

4

5

ïðè

u

>

1;

K(u) = 15(3 10u0;+ 7u

)=2

;

ïðè

jjujj

1:

ßäðî K(u) 2 A6; åñëè

K(u) = 105(5 35u

2

63u4

33u6)=28;

ïðè

u

>

1;

+0;

ïðè

jjujj

1:

Указанные ядра получаются с помощью рекуррентной процедуры, ис-

пользующей полиномы Якоби, ортонормированные с весовой функцией

(u) = f1

u2

; juj 1; 0; juj > 1g: K(u) 2 A ; åñëè

2

Xj

K(u) = (u) pj(0)pj(u)(2j + 3)(j + 2)=8(j + 1);

=0

j + 2 upj+1(u) pj(u) ;

pj+2(u) = j + 4

j + 3

2j + 5

A 2 B2N

1

A

2

2 +1

2 +1

u2 (fN;o(x))

+ B2

=

N

A

2 B2N

N

2

B 2 +1 "(2 )2 +1

+ 21

2

# = O N

2 +1

=

: •

A 2 +1

2

1

2 +1

2

fN;o(x) 2 V N

2

! V N 1 :

(6.6.18)

2 +1

Из (6.6.18) видно, что в смысле определения 6.6.3 скорость сходи-

а такжеможетоценокдостичьфункцийско-

ростимости оптимальнойсходимостипараметрическихоценки кривой смертейоценок,fN;o(x)

распределения FN (x), FfN (x) и функций надежности sN (x), sfN (x).

6.7 Нахождение оптимальных параметров размыто-

сти в ядерных оценках кривой смертей

Одной из основных проблем при непараметрическом оценивании плот-

ностей

ýòî

нахождение

оптимального

значения

hN;o (X1

; : : : ; XN )

для определенного набора

X1; : : : ; XN

указывает путь к нахождению оптимального значения параметра.Теорема 6.6.1

адаптивной ядерной оценки

hN;o

са, определенного условиями 1), 2) леммы jhN =hN;o

fN;o(x) = fN (x) 6.6.4. Отметимплотностейтакже,из класчто-

(см. (6.6.18)). Из (6.6.14) видно, что последовательность

fN;o(x)

зирующую главные части асимптотического СКО,

hN;o

трудно выписать,минимив-

ния плотностей, которые делятся на два основных типа.

К первому типу относятся методы, связанные с оцениванием по вы-

борке неизвестных параметров главной части асимптотического разло-

жения некоторого критерия качества (например, нахождение

hN;o ïó-

тем оценивания неизвестных констант

Методы нахождения оптимального параметраA è B в (6размытости.6.14)).

путем непо-

Первому типу принадлежит параметрический метод, исследованный

в работах [22], [23] для одномерных плотностей и критерия

JN = E 0Z1

(fN (x) f(x))2 dt1. Согласно [18], [24], если K(u) îãðà-

@

A

K(u)

2, f(x)

R

2 A

ная и дважды непрерывно-дифференцируемая

ниченное симметричное ядро-плотность,

ограничен-

плотность и

Z1

(f00(x))2 dx <

1, òî ïðè hN 2 H2:

R

ZR1

u2K(u)du

JN (NhN ) 1

ZR1

K2(u)du + 4hN4

2

ZR1

(f

00(x)) dt:

1

2

Из (6.7.1) следует, что

(6.7.1)

hN;o = C N ZR1

(f00(x))2 dx 1=5

;

(6.7.2)

где коэффициент C = ZR1

K2(u)du ZR1

u2K(u)du 2 зависит толь-

(6.7.2) является интеграл ZR1

(f00(x))2. dx, который, например, для нор-

мальной плотности равен 3=

8p

5

Z

В работах [25], [23], [30],

[31], [53] интеграл

имеем:

ex:ne

n

s(x+t) dt; D T (x) è Dfmin(T (x); n)g

= s(x) Z0

Рассуждая аналогично, для

1

1

Z0

n 1

N

ex:ne = sN (x)

N i=1 I(Xi > x + t) dt =

d

X

1

N

min(n;Xi x)I(Xi x>0)

= sN (x) N i=1 Z0

dt =

X

=

N min(n; Xi x)I(Xi x > 0), N

I(Xi x > 0);

X

Xi

i=1

=1

D T (x) =

N

(ex)2

;

Xi

d

(Xi x)2I(Xi x > 0)

^

=1

N

x Xi

d

i=1 S

aN

X

D min(T (x); n) =

N

(ex)2

:

Xi

d

(min(n; Xi x))2I(Xi x > 0)

^

=1

N

x Xi

d

i=1 S

aN

X

В заключение рассмотрим особенности применения рассмотренных

выше приемов оценивания в коллективном страховании. Например, в

качестве оценки

ex1:x2 можно взять

ex1:x2 =

1

1

P^ fmin(X x1; Y x2) > tg dt =

sN (x1; x2)

Z0

d

N

1

1 1

Ifmin(Xi x1; Yi x2) > tg dt =

= sN (x1

; x2) Z0 N i=1

X

N

Z0min(Xi x1;Yi x2) dt =

= sN (x11; x2) N i=1

X

1

N

Xi

= sN (x1

min(Xi x1; Yi x2)Ifmin(Xi x1; Yi x2) > 0g;

; x2) N

=1

87

Nlim NhN cov (sN

(x); sN (x)) = Nlim

hN s(x) (1 s(x)) = 0:

Далее,

f

f

!1

!1

cov (fN (x); sN (x)) =

2

1

S

f(y)dy

K

Nh

N

h

a

1

Z

N

N

y

f

40

x

y

x

f(y)dy3:

1K

x y

f(y)dy 1

x y

h

a

Z

N

Z S

N

5

0

0

Òàê êàê

S( )

ограниченная функция, то

sup

S(x) C < 1

è,

x2R1+

таким образом,

1

1

hN

S

aN

NhN Z0

I

=

1

K

x y

x

y

f(y)dy

1

NhN Z0

hN

C

1

K

x y

f(y)dy:

(6.6Согласно.3)и (6.3.(62),.6получаем.3),имеемприпри N ! 1: I1

= O N 1

: Далее, учитывая

N ! 1:

1

hN

1

aN

NhN Z0

Z0

S

1

K

x

y

f(y)dy

x y

f(y)dy = O(N 1);

cov (fN

(x); sN

(x)) = cov (sN (x); fN (x)) = O N

1

:

(6.9.2)

Лемма 6.9.1 доказана.

f

sN

(x)

а в Выбираякачестве оценкивf

(6.3.1),

качествеплотностиоценки функцииядернуюнадежностиоценку оценку

f

им оценку подстановки функции интенсивности

fN (x)

(6.6.2), постро-

N

(x) =

fN (x)

:

(6.9.3)

sfN (x)

Теорема 6.9.1 . Пусть

1) плотность f(z) 2 N ;1 (R) ;

x2R1

(x) < 1;ïðè

K(u) 2 A ;

2) sup f(m)

m =

0;

;

3) ÿäðî

4) 1

(x) = o x

x

;

5) выполнены условия леммы 6.3.3;

K

! 1

(aN + hN ) = 0:

N

2;

NhN

мальное

lim

p

имеет двумерное предельное нор-

6) h

2 H

Тогда вектор

p

N!1

2

(0; 0);

;

предельная ковариаци-

распределение

s(x))

ãäå

NhN (fN (x) f(x); sN (x)

g

fN f

онная матрица, определенная в

(6.9.1).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Представим

p

(fN

(x) f(x); sN (x) s(x)) =

NhN

f

p

NhN

(b (fN (x)) ; b (sN (x))) = p

NhN