Основы страховой (актуарной) математики - Г.М.Кошкин
.pdfПроведите сравнительный анализ полученных результатов. |
|
Вывести формулы дляЗадание 4.5.2 |
|
для дробных возрастов. |
f(tj); s(tj); tj в предположении Балдуччи |
Задание 4.5.3
Постройте графики кривых смертей в промежутке (77,79) в предположениях Задания 4.5.1. Задание 4.5.4
Постройте графики кривых функций интенсивности смертности в промежутке (77,79) в предположениях Задания 4.5.1.
51
5 КОЛЛЕКТИВНОЕ СТРАХОВАНИЕ
5.1 Страхование жизни нескольких лиц. Статус сов- |
|
местной жизни (joint-life status) |
|
Результаты, представленные в главах 1 4, могут быть обобщены |
|
на многомерный случай. Такие обобщения необходимы при расчетах, |
|
связанных с пенсионным страхованием, с коллективным страхованием |
|
жизни, здоровья и др. Теория излагается в главе 8 фундаментальной |
|
монографии [1, с.231 258, с.483-510] и [4, гл. 8]. |
|
Кратко изложим особенности страхования жизни нескольких лиц. |
|
Рассмотрим случай коллективного страхования жизни, для которого |
|
полезнойумов с возрастамиабстракцией является понятие статуса. Пусть m индивиду- |
|
время жизни |
желают заключить страховой до- |
говор. Предстоящее (x1; x2; : : : ; xm) |
|
|
k-го индивидуума обозначим через |
T (xСовокупности) = X x :
k k
ствие статус (status)m чисел T (x1); T (x2); : : : ; T (xm) поставим в соответность жизни U, которому соответствует своя продолжитель-
ляются статусTсовместной(U). Двумяжизнисамымии статусраспространеннымивыживания последнегостатусами[1]яв.-
|
Статус совместной жизни обозначается U := x1 : x2 : : : : : xm èëè |
|
хотя бы одного из индивидуумов,исчитается разрушенным,т.е. |
если наступила смерть |
|
(x1 |
: x2 : : : : : xm) |
|
T (U) = minfT (x1); T (x2); : : : ; T (xm)g:
Понятно, что
PfT (U) > tg = Pfmin(T (x1); T (x2); : : : ; T (xm)) > tg =
=PfT (x1) > t; T (x2) > t; : : : ; T (xm) > tg;
èв предположении независимости смертей
|
m |
|
PfT (U) > tg = |
iY |
|
tpxi : |
(5.1.1) |
|
|
=1 |
|
Теперь легко вывести другие вероятностныеопределяетсяхарактеристикив п.3.2. продол- |
||
Смысл вероятностей tpxi = PfT (xi) > tg |
|
|
жительности жизни для T (U), например, |
|
|
|
|
m |
tqx1:x2:::::xm = 1 tpx1:x2:::::xm = 1 |
iY |
|
(1 tqxi ): |
||
|
|
=1 |
52 |
|
|
Для плотности распределения времени разрушения рассматриваемого статуса справедливы следующие соотношения:
d
fx1:x2:::::xm (t) = d tPfT (U) > tg =
|
|
|
|
|
|
|
= |
d m |
tpxi = |
d m s(xi + t) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
(5.1.2) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
d t |
=1 |
d t |
i=1 |
|
|
|
|
s(xi) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iY |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 5.1.1. В предположении независимости смертей найти плот- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ность распределения статуса совместной жизни двух индивидуумов U := |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) в общем случае; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x1 : x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) для модели де Муавра. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
плотностиР е ш ераспределениян и е. Так какстатуса в соответствииа minс |
.1. |
|
имеем: то для |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m = 2; T (U) = |
|
|
|
|
(T(5x12); T (x2)); |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
fx1:x2 (t) = |
d |
|
|
fPfmin(T (x1); T (x2)) > tgg = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s(x + t) s(x + t) |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
t = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s(x1) |
|
|
|
s(x2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
== |
f(x1 + t) |
|
s(x2 + t) |
|
+ |
f(x2 + t) |
|
s(x1 + t) |
= |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s(x1) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
s(x1) |
|
|
|
|
|
s(x2) |
|
|
|
|
|
|
|
s(x2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
= fx1 (t) sx2 (t) + fx2 (t) sx1 (t) < fx1 (t) + fx2 (t); |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
s(x + t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ãäå sx(t) = |
|
|
|
|
функция выживания случайной величины T (x): |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
s(x) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Как будет показано позднее, доказанное неравенство позволяет снижать |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
страховой компании размер премии участнику коллективного страхова- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ния по сравнению со случаем индивидуального страхования. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Для модели де Муавра fx(t) задается формулой (3.1.2), функция |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
выживания s |
x |
(t) = I ( |
|
|
|
|
|
; ! |
|
x) |
|
t It(0; ! x) |
; поэтому |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
1 |
|
|
|
|
|
! |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f |
|
(t) = |
It(0; ! x1) |
I ( |
1 |
; ! |
|
x |
) |
|
|
t It(0; ! x2) |
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x1:x2 |
|
|
|
|
|
|
! x1 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
! x2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
+ |
It(0; ! x2) |
|
|
I ( |
|
|
; ! |
|
x |
) |
|
|
|
t It(0; ! x1) |
|
= |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
! x2 |
|
|
|
|
|
t |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
! x1 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(! x1)(! x2) |
(! x1)(! x2) |
t |
1 |
|
2 |
|
|
= |
! x2 t |
+ |
! x1 t |
I (0; min(! |
x ; ! |
|
x |
)): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.1.3) |
||
Перейдем теперь к функции интенсивности разрушения состояния |
|||||||||||||||||||||
совместной жизни. Функция интенсивности остаточного времени жизни |
|||||||||||||||||||||
T (x) = X x удовлетворяет равенствам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
fx(t) |
|
f(x + t) |
|
|
|
|
d |
|
|
|
|||||||||
x(t) = |
|
|
= |
|
= x+t |
= |
|
|
|
ln s(x + t) = |
|||||||||||
sx(t) |
s(x + t) |
d t |
|||||||||||||||||||
|
d |
|
|
|
d |
|
s(x + t) |
|
d |
||||||||||||
= |
|
[ln s(x + t) ln s(x)] = |
|
|
ln |
|
|
|
|
= |
|
ln tpx; |
|||||||||
d t |
d t |
|
s(x) |
d t |
|||||||||||||||||
ò.å. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t) = x+t = |
d |
|
ln tpx. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(5.1.4) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
d t |
||||||||||||||||
Принимая во внимание (5.1.4), получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
d |
|
d |
m |
||
|
|
|
|
|
|
Xi |
|
x1:x2:::::xm (t) = d t ln tpx1:x2:::::xm = d t |
|||||||
=1 |
|||||||
и, следовательно, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
m |
|
||
|
|
x1:x2:::::xm (t) = |
Xi |
(t). |
|||
|
|
xi |
|||||
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
Xi |
(t) |
ln tpxi = xi |
|
=1 |
|
(5.1.5)
5.2 Упрощения для моделей Гомпертца и Мэйкхама
Если смертность всех людей рассматриваемой группы распределена по одному и тому же закону Гомпертца (см. п.2.6), то
|
xi |
(t) = |
xi+t |
= B e (xi+t) = B rxi+t; |
(5.2.1) |
|
|
|
|
гдеРавенствоr = e ; t (50.1; .5)i =ñ1учетом; : : : ; m:(5.2.1) позволяет составить уравнение
rx1 + rx2 + + rxm = r!;
решив которое относительно !; получаем
! = 1 ln frx1 + rx2 + + rxm g =
54
|
1 |
+ e x2 + + e xm g : |
|
= |
ln fe x1 |
(5.2.2) |
Таким образом, функцию интенсивности разрушения состояния совместной жизни можно представить в виде
x1:x2:::::xm (t) = !(t); t 0,
откуда видно, что интенсивность разрушения состояния совместной жизни также подчиняется закону Гомпертца некоторого условного индивиестественно,дуума с начальнымвыражаемымвозрастомчерез!;начальныевычисляемымвозрастыпо формуле (5.2.2) и,
x ; x ; : : : ; x
участников коллективного страхования. Это позволяет 1âñå2расчеты,m всехка-
сающиеся состояния совместной жизни, проводить в терминах одного индивидуумаОпределенные(!). упрощения возникают также, когда смерт-
ность всех рассматриваемых индивидуумов подчиняется одному и тому же закону Мэйкхама (см. п.2.6):
xi (t) = xi+t = A + B e (xi+t) = A + B rxi+t;
t Составив0; i = 1; :равенство: : ; m; r = e :
A+ B rx1+t + + A + B rxm+t = m A + B r!+t
èрассуждая как и в случае закона Гомпертца, приходим к уравнению
rx1 + rx2 + + rxm = m r!;
решение которого имеет вид:
! = 1 [lnfrx1 + rx2 + + rxm g ln m] =
= |
1 |
[lnfe x1 |
+ e x2 + + e xm g ln m] : |
(5.2.3) |
||||
|
|
|||||||
Таким образом, для закона Гомпертца |
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
x1:x2:::::xm (t) = m !(t) = !:!:::::!(t), |
|
|
||||
лицамии, следовательно,одинаковогоm |
лиц"начального"возраставозраста |
|
||||||
|
x1; x2; : : : ; xm могут быть заменены m |
|||||||
формуле (5.2.3). |
|
|
|
|
|
!; который вычисляется по |
||
|
|
|
|
|
|
55 |
|
|
5.3 Статус выживания последнего (last-survivor status)
Статус выживания последнего обозначается
U := x1 : x2 : : : : : xmèëè(x1 : x2 : : : : : xm)
и считается разрушенным, если все представители коллектива умерли, т.е.
T (U) = max(T (x1); T (x2); : : : ; T (xm)):
Состояние совместной жизни соответствует последовательному соединению электролампочек в цепи, состояние выживания последнего их параллельному соединению. Понятно, что
tqx1:::::xm = PfT (U) tg = Pfmax(T (x1); T (x2); : : : ; T (xm)) tg =
=PfT (x1) t; T (x2) t; : : : ; T (xm) tg;
èв предположении независимости смертей
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
m |
||
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
iY |
|||
tq |
x1:x2:::::xm |
= tqxi ; |
tp |
x1:x2:::::xm |
= 1 |
(1 tpxi ) : |
|||||||
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
=1 |
||
Плотность распределения времени разрушения статуса выживания |
|||||||||||||
последнего равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
d |
m |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iY |
|
|
fx1:x2:::::xm (t) = d tPfT (U) tg = d t |
(1 tpxi ) : |
|||||||||||
|
=1 |
||||||||||||
Пример 5.3.1. В предположении независимости смертей найти плотность распределения статуса выживания последнего двух индивидуумов U := x : x
1) в общем1 случае;2
2) для модели де Муавра. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
плотностиРе ш ераспределениян и е. Так какстатусаm = 2имеем:; à T (U) = max(T (x1); T (x2)); òî äëÿ |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
||||
f |
|
(t) = |
|
|
fP(T (x1) |
t)P(T (x2) t)g = |
|
|
|
fFx1 (t) Fx2 (t)g = |
||||||||||||||||||
x1:x2 |
|
dt |
dt |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
= |
d |
|
F (x1 + t) |
F (x2 + t) |
= |
f(x1 + t) |
|
F (x2 + t) |
+ |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
s(x1) |
|
s(x2) |
|
|
|
s(x1) |
|
s(x2) |
|
|
|
|
||||||||||
+ |
f(x2 + t) |
|
F (x1 + t) |
= f |
x1 |
(t) F |
x2 |
(t) + f |
x2 |
(t) F |
x1 |
(t) < f |
x1 |
(t) + f |
x2 |
(t): |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
s(x2) |
|
s(x1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для модели де Муавра
|
x1 |
:x2 |
|
|
|
! x1 |
|
|
! x2 |
t |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|||||||
f |
|
|
(t) = |
It(0; ! |
x1) |
|
t It(0; ! x2) |
+ I ( |
|
|
; ! |
|
|
x |
) + |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
! x2 |
|
|
|
! x1 |
t |
1 |
|
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
+ |
It(0; ! x2) |
|
t It(0; ! x1) |
|
+ I |
( |
; ! |
|
x |
) = |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
2t It(0; min(! x1; ! x2)) |
+ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(! x1)(! x2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
+ |
It(min(! x1; ! x2); max(! x1; ! x2)) |
: |
|
(5.3.1) |
||||||||||||||||
Понятно, что |
|
|
|
|
min(! x1; ! x2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x1:::::xm (t) = fx1:::::xm (t) sx1:::::xm (t)
= |
d |
m |
(1 tpxi ) , |
1 m |
(1 tpxi )!: |
d t |
iY |
||||
|
|
|
Y |
|
|
|
|
=1 |
|
i=1 |
|
5.4 Примеры на оба статуса
Прежде всего проиллюстрируем возможности использования характеристик ТПЖ при вычислении вероятностей, связанных с рассмотренными статусами.
читьПримервыражения5.4.1вероятностей,. Предполагая,чточто T (70) è T (75) независимы, полу-
(ii)(i) перваяпоследняясмертьсмертьпроизойдетпроизойдетв промежуткев том же промежуткеот 5 äî 10 .ëåò;
(iii) Подсчитать эти вероятности для мужчин и женщин СССР, сравнить с соответствующими индивидуальными вероятностями.
Р е ш е н и е. (i) Для искомой вероятности статуса совместной жизни двухравенств:лиц (70 : 75) с учетом (5.1.1) справедлива следующая цепочка
Pf5 < T (70 : 75) 10g = PfT (70 : 75) > 5g PfT (70 : 75) > 10g =
= 5p70:75 10p70:75 = 5p70 5p75 10p70 10p75 =
= l70 |
|
l75 |
l70 |
l75 |
= l70 |
1 l75 |
: |
||||
|
l75 |
|
l80 |
|
l80 |
l85 |
|
l80 |
|
l85 |
|
лучаем:(ii)Здесь для статуса выживания последнего двух лиц (70 : 75) ïî-
Pf5 < T (70 : 75) 10g = PfT (70 : 75) 10g PfT (70 : 75) 5g =
57
=10q70:75 5q70:75 = 10q70 10q75 5q70 5q75 =
=(1 10p70)(1 10p75) (1 5p70)(1 5p75) =
= |
1 l70 |
1 l75 |
|
1 l70 |
1 l75 |
: |
|||
|
|
l80 |
l85 |
|
|
l75 |
|
l80 |
|
(iii) Согласно ТПЖ (Приложение 1) имеем для мужчин СССР
Pmf5 < T (70 : 75) 10g = 43; 405 |
1 |
|
|
30; 857 |
= 0; 3057; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
18; 787 |
|
|
|
|
|
|
|
9; 063 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Pmf5 < T (70 : 75) 10g = |
|
1 43; 405 |
1 30; 857 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18; 787 |
|
|
|
|
|
9; 063 |
|
||||||||||||
1 43; 405 |
1 30; 857 |
= 0; 2875 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
30; 857 |
|
|
|
|
|
18; 7870 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Pm1 = Pf5 < T (70) 10g = |
l75 |
|
|
|
l80 |
= |
30; |
857 |
|
18; 787 |
= 0; 2781; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
l70 |
|
l70 |
43; |
405 |
43; 405 |
|||||||||||||||||||||||
Pm2 = Pf5 < T (75) 10g = |
l80 |
|
|
|
l85 |
= |
18; |
787 |
|
9; 063 |
= 0; 3151; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
l75 |
|
l75 |
30; |
857 |
30; 857 |
|||||||||||||||||||||||
а для женщин СССР |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
57; 679 |
= 0; 3447; |
|||||||||||||
Pwf5 < T (70 : 75) 10g = 70; 043 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
41; 674 |
|
|
|
|
|
|
|
|
24; 265 |
|
|
|
|
|||||||||
Pwf5 < T (70 : 75) 10g = |
|
1 70; 043 |
1 |
57; 679 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41; 674 |
|
|
|
|
|
|
24; 265 |
|
|||||||||||
1 70; 043 |
1 57; 679 |
= 0; 1856; |
|
|
||||||||||||||||||||||||
57; 679 |
|
|
|
|
41; 674 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Pw1 = Pf5 < T (70) 10g = |
57; 679 |
|
|
|
|
41; 674 |
= 0; 2285; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
70; 043 |
|
|
|
70; 043 |
||||||||||||||||||||||||
Pw2 = Pf5 < T (75) 10g |
= |
41; 674 |
|
|
24; 265 |
|
= 0; 30182: |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
57; 679 |
|
57; 679 |
|
|||||||||||||||||||||||||
Ìожно найти и различные числовые характеристики для статусов U := x1 : x2 : : : : : xm è U := x1 : x2 : : : : : xm; в частности, согласно п.3.3
Z 1 Z 1
eU = ET (U) = t fU (t) dt = tpU dt;
00
58
Z 1 2 2 Z 1 2
DT (U) = t fU (t) dt eU = 2 t tpU dt eU :
0 0
Пример 5.4.2. В предположении независимости смертей найти
для модели де Муавра.
Р е ш е н и е. Воспользовавшись формулой (5.3.1), имеем
ex1:x2
1 |
|
|
min(! x1;! x2) |
|
2t |
||||
e |
|
= Z0 |
t f |
|
(t) dt = Z0 |
|
t |
|
dt+ |
x1:x2 |
x1:x2 |
|
(! x1)(! x2) |
||||||
|
|
|
|
Z max(! x1;! x2) |
dt |
|
|
|
|
+min(! x1;! x2) t(! x1)(! x2) =
= 2 min3(! x1; ! x2)+ 3(! x1)(! x2)
+max2(! x1; ! x2) min2(! x1; ! x2) = 2 max(! x1)(! x2)
= 2 min2(! x1; ! x2) + 3 max(! x1)(! x2)
+max2(! x1; ! x2) min2(! x1; ! x2) = 2 max(! x1)(! x2)
= min2(! x1; ! x2) + 3 max2(! x1; ! x2): 6 max(! x1)(! x2)
Пример 5.4.3. В предположении независимости смертей найти для модели де Муавра.
Р е ш е н и е. Воспользовавшись формулой (5.1.3), получаем
ex:x
e |
= 2 |
! x t |
! x t |
dt = |
! x |
: |
|
3 |
|||||
x:x |
Z0 |
|
(! x)2) |
|
||
5.5 poundСтатусыstatuses)k выживших, смешанные статусы (com-
Статус выживания k последних (k-survivor status) обозначается
U := |
(5.5.1) |
k
x1 : x2 : : : : : xm
59
имовсуществует до тех пор, пока живы по крайней мере k èç m индивидуу-
(x1); (x2); : : : ; (xm); т.е. он считается разрушенным при наступлении (m k + 1)-й смерти. Понятно, что
m
x1 : x2 : : : : : xm
= (x1 : x2 : : : : : xm);
1
x1 : x2 : : : : : xm
= (x1 : x2 : : : : : xm);
выживанияи, следовательно,последнегосостояние( совместной жизни ( k = m) и состояние (5.5.2). k = 1) являются частными случаями статуса
обозначаетсяТочныйстатус выживания k последних ([k]-deferred survivor status)
U := |
|
|
[k] |
(5.5.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и существует, если живы в |
|
x1 |
: x2 : : : : : xm |
|
|
|
точности |
|
|
||
т.е. он начинается в момент |
|
|
k èç m индивидуумов (x1); (x2); : : : ; (xm); |
||
|
(m k)-й смерти и прекращается в момент |
||||
расчете(m k +аннуинитетов1)-й смерти.(последовательностейЭтот статус находит платежейширокое применениесограниченнымпри
сроком длительности) [1, с.484], [4, с.107].
Итак, мы определили статусы для группы индивидуумов через обкомбинироватьщий статус k выжившихиз рассмотренных.Отметим,в даннойчто новыеглавестатусыбазовыхможностатусовтакже.
Смешанным статусом назовем состояние, в основе которого лежит |
|||||||||||||||||||||||||
комбинация статусов, причем хотя бы один из них задан для более, чем |
|||||||||||||||||||||||||
одного индивидуума. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ïðèìер 5.5.1. Опишите следующие смешанные статусы: |
|||||||||||||||||||||||||
(i) (x1 : x2 : |
|
: x4 |
) ; (ii) |
|
|
|
|
|
|
; (iii) (x1 |
: x2 |
: |
x3 : x4 |
) : |
|||||||||||
x3 |
x1 |
: x2 |
: (x3 : x4) |
||||||||||||||||||||||
Р е ш е н и е. (i) Это состояние сохраняется, если жив по крайней |
|||||||||||||||||||||||||
ìåðå îäèí èç ( |
x1 |
) è ( |
x2 |
) и по крайней мере один из ( |
x3 |
) è ( |
x4 |
|
|
||||||||||||||||
разрушения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
). Моментом |
||||||||
|
статуса |
( |
x1 : x2 |
: |
x3 : x4 |
) является |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
T (U) = minfmaxfT (x1); T (x2)g; maxfT (x3); T (x4)gg: |
|||||||||||||||||||||||||
(ii) Такое состояние сохраняется, если живы по крайней мере двое |
|||||||||||||||||||||||||
из четырех, именно, ( |
x3 |
) è ( |
x4), или, когда только один жив, и это |
||||||||||||||||||||||
ëèáî ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x ), ëèáî (x x : x : (x : x ) является1 2). Моментом разрушения статуса 1 2 3 4
T (U) = maxfmaxfT (x1); T (x2)g; minfT (x3); T (x4)gg:
60