Добавил:

Teana Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Таврический Национальный Университет им. В.И. Вернадского

Предмет:

Экономика

Файл:

Основы страховой (актуарной) математики - Г.М.Кошкин

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.05.2014

Размер:

634.88 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

с максимумом в точке x = (n=k)1=(n+1) (см. Задание 2.6.2).

Модель Эрланга

Рассмотрим модель Эрланга 2-го порядка, для которой кривая смертей описывается формулой

f(x) =	x	x	; x 0:
		e a
	a2

В этом случае функция выживания

s(x) = x + a e xa ; a

а интенсивность смертности

x = a(x + a):

В заключение отметим, что определенным преимуществом аналити- ческих законов является то, что для них вероятностные характеристики продолжительности жизни можно быстро вычислять по небольшому числу параметров. Это может оказаться важным также и в случаях, когда доступные данные немногочисленны.

2.7 Контрольные задания

Задание 2.7.1

следующиеХарактертаблицы:зависимости функции выживания s(x) от возраста x äàþò

МУЖЧИНЫ (СССР, 1984 1985 г.) [4, с.86]


	x	0		14			20			30	40	50	60
	s1(x)	1,000		0,954			0,947			0,922	0,878	0,795	0,651
	70		80			90		100	110
	70		80			90		100	110
	0,434		0,188			0,003		0	0
ЖЕНЩИНЫ (СССР, 1984 1985 г.) [4, с.86]

	x	0		14			20			30	40	50	60
	s2(x)	1,000		0,964			0,961			0,953	0,939	0,908	0,841
	70		80		90			100	110
	70		80		90			100	110
	0,700		0,417		0,008			0	0
									21

НАСЕЛЕНИЕ США [1, с.7]

x	0		10		20		30		40	50	60
s3(x)	1,000		0,983		0,977		0,965		0,949	0,915	0,837
70		80		90		100		110
70		80		90		100		110
0,682		0,432		0,142		0,012		0

1) Исходя из смысла функции выживания проанализируйте данные
таблицы.
2) Привлекая порядковые статистики, постройте параметрические
оценки функций выживания для модели де Муавра, воспользовавшись
приведенными таблицами.
3) Опишите несколько способов построения параметрических оценок
функций выживания для модели Вейбулла на основе приведенных та-
блиц (в модели Вейбулла интенсивность смертности			x приближается
степенной функцией вида
kxn).
Задание 2.7.2
В модели Гомпертца интенсивность смертности		x приближается по-
казательной функцией вида
ðû.	Be x; ãäå > B > 0 некоторые парамет-

1)Найти точку максимума для кривой смертей в модели Гомпертца.

2)Где можно использовать полученный результат?

3)Найти точку максимума для кривой смертей в модели Вейбулла.

	Задание 2.7.3
Пусть имеются две функции выживания:
s1(x) = e x3=12; x 0;
s2(x) = 1		x
				; 0 x < !; > 0:
		!
интенсивностиприсмертностиописывает модель де Муавра.
Функция1)Найтивыживания s2(x)			= 1
функции распределения				ix; кривые смертей fi(x) è
si(x ; Найтиi = 1; 2вероятности:	Fi(x); соответствующие функциям выживания
	того, что умрут в промежутке от
2)					10 äî 30 ëåò:
а) случайно выбранный человек,

б) застрахованный в возрасте 10 ëåò.

Рассмотрим	Задание 2.7.4
	f(x) =	x	e x=a:


		a2
2)1) ОпределитеПокажите,чтовидfсоответствующих(x) может рассматриватьсяфункции выживаниякак кривая смертей.
тенсивности смертности			s(x) è èí-
	x; а также соответствующую среднюю продол-

жительность жизни

3) Проанализируйтеe : степень соответствия предложенного аналити-

ческого описания реальным данным с помощью таблицы продолжительности жизни (сравните среднее время жизни с точкой максимума кривой смертей).

4) Найдите дисперсию продолжительности жизни.

Задание 2.7.5

Рассмотрим три таблицы значений функций выживания задания 2.18.1. Подсчитайте среднее и дисперсию числа представителей исходлетной. группы в l0 новорожденных, которые умрут в возрасте от 50 äî 70

Задание 2.7.6

Аппроксимируйте выбранную из задания 2.18.1 какую-либо функцию выживания si(x); i = 1; 2; 3; используя модель Вейбулла для целых

n =1)2;Найдите4: параметр

2) Постройте графикиkполученныхспомощью аппроксимацийМНК. при

ясните какая из построенных моделей наилучшая в смыслеnнекоторого= 2; 4; âû-

критерия, выбором которого распорядитесь самостоятельно.

3)4) МожноКакнайтили провестиоптимальноеодновременнозначение nоптимизацию? по параметрам

è	k
	n?

Задание 2.7.7

Предположим, что кривая смертей описывается формулой

f(x) = ax2 e x=a; x 0:

ни 1) Найдите функцию распределения Fx(t) остаточного времени жиз-

ственно),T (x = X x (X; x момент смерти и возраст индивида, соответ-

Fx(t) = P (T (x t)):

2) Покажите, что плотность распределения остаточного времени жиз-

íè fx(t) = dtFx(t) является взвешенной суммой экспоненциальной плот-

ности	1	e t=a и эрланговской плотности	t	e t=a:
			2
	a		a

3) Найдите вероятность P (T (x) > t); предел lim P (T (x) > t) и выясните, можно ли применять такую аппроксимациюx!1кривой смертей для больших возрастов x:

3ОСТАТОЧНАЯ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ ЖИЗНИ

3.1Остаточное время жизни (time-untill-death), его распределение

луЕслиспецификичеловек дожилеедеятельности,до возрастаинтересует,x лет, то страховуювообщеговоря,компанию,уже невегоси-

общая продолжительность жизни X; а остаточное время жизни T (x) = Xтораяx:являетсяНайдем условнойфункциюфункциейраспределенияраспределенияслучайнойвеличинывеличины T (x); êî-

условии, что									X x ïðè
X > x :
Fx(t) = P(T (x) t) = P(X x tjX > x) =
		j		t	x		P(X >Tx)
= P(X		x + t	X > x) =	q		=	P(X x + t X > x)		=
= P(X		x + t	X > x) =	q		=			=
	=	P(x < X x + t)				=	F (x + t) F (x)	:	(3.1.1)
		P(X > x)					1 F (x)

распределенияЕсли известны табличные значения lx è lx+t; то через них функция Fx(t) выражается следующим образом:

Fx(t) =	s(x) s(x + t)	=	lx=l lx+t=l	=	lx lx+t	:
	s(x)
			lx=l		lx

Воспользовавшисьличины (3.1.1), найдем теперь плотность fx(t) случайной ве-

T (x) :
	d		f(x + t)
fx(t) =		Fx(t) =		; 0	t < 1:
fx(t) =	dt	Fx(t) =	1 F (x)	; 0	t < 1:

В качестве примеров рассмотрим законы де Муавра и Мэйкхама. Модель де Муавра. Введем для удобства обозначение

		1;	åñëè x (a; b]
	Ix(a; b] = 0;		åñëè x 22= (a; b]	:
Пусть распределение продолжительности жизни				описывается законом
де Муавра, для которого плотность распределения и функция выжива-
ния, соответственно, задаются формулами:
f(x) =	Ix(0; !)	; s(x) = Ix(1; !)		x Ix(0; !)	:
f(x) =	!	; s(x) = Ix(1; !)		!	:
			25

Òàê êàê 0 < X < !; òî 0 < T (x) < ! x; è

Fx(t) = ! xIt(0; ! x) + It[! x; 1);

à äëÿ t 2 (0; ! x)

fx(t) =	d		t		=		1		; t 2 (0; ! x];	(3.1.2)
	dt		! x			! x

накот.е. остаточноена промежуткевремя жизни T (x) также равномерно распределено, одМодель Мэйкхама(0; !. Дляx):этого закона


t = A + B e t;		s(x) = exp Z0x			tdt = exp [ Ax B (e x 1)= ] ;
f(x) = s0			(x) = [A + B e x] exp [ Ax B (e x 1)= ] ;
f(x + t) = [A + B e (x+t)] exp h A(x + t) B (e (x+t) 1)= i:
Поэтому плотность распределения остаточного времени жизни
	x + t)
fx(t) =	f(			= [A + B e xe t]exp At B e x(e t 1)= ;
	s(x)

делениеоткуда следует,Мэйкхамачтосостаточноетакимипараметрами:время жизни T (x) также имеет распре-

Ax = A; Bx = B e x; x = :

3.2 Величины, связанные с T (x): tqx; tx; qx; px; tjuqx; tjqx

Вроятностьактуарной математике вероятность P(T (x) t) и дополнительная ве-

с (3.1.1) определяютсяP(T (x) > t);следующими формулами: q ; в соответствии обозначаемые символами t x è tx


q		= P(T (x)	t) =	s(x) s(x + t)		;
				s(x)
t	x
tx = P(T (x) > t) = 1 tqx =					s(x + t)
							:
					s(x)

(3.2.1)

(3.2.2)

â	промежутке временивыражает вероятность смерти человека возраста		x	ëåò
â	Величина tqx		x
доживет до возраста		(x; x + t]; à tx вероятность, что такой человек
		x + t:
		26

s(x)

В страховом: деле возникает необходимость рассматривать и более

сложные случаи. Например, определим вероятность того, что человек Этувозраставероятностьx проживетобозначаютt лет, но умрет на протяжении следующих u ëåò.

= x совпадает приблизительно с интенсивностью смерт-

ностиx

f(x)

тивныйd множительl f(x) связана приближенным равенством через мультиплика-

ее характер измененияl свкривойзависимостисмертейот fвозраста(x) и повторяет приближенно

формул t =	1)		tqx		tx
Ïðè (3.2.		ипередние(3.2.2) получаеминдексы у		è		опускаются, и из общих

qx = P(T (x) 1) = s(x) s(x + 1) = lx lx+1 ; s(x) lx

x = P(T (x) > 1) = s(x + 1) = lx+1 : s(x) lx

(3.2.3)

(3.2.4)

Переменные qx è x чаще всего используются на практике; величина

qближайшегоравна вероятностигода, а смерти индивидуума возраста x лет в течение

ìåðå îäèí ãîä.	px вероятности, что он проживет еще по крайней
Учитывая формулу (3.2.3), представим

		qx =	dx	:
		qx =		:
			lx

Величина q

äèò â ÒÏÆx является(Приложениетретьей1).основнойТаккак характеристикой, которая вхо-

lx = l s(x); dx l f(x); òî

qx	f(x)	= x; т.е. форма кривой qx приближенно совпадает с формой
	s(x)
кривой функции интенсивности смертности.
Таким образом, мы выяснили смысл трех основных величин, содер-
жащихся в ТПЖ:
öèåél			связана через мультипликативный множитель		l	ñ ôóíê-
	выживания
	= l	s(x)
x
от возраста				s(x) и повторяет ее характер изменения в зависимости

tjuqx = P(t < T (x) t + u);

(3.2.5)

мая во внимание соотношения (3.2.1) и (3.2.2), черезq ;основную; или,функциюприни- и она может быть выражена или через функцию t x èëè tx

страховой математики функцию выживания s(x) :

tjuqx = P(t < T (x) t + u) =

= P(T (x) t + u) P(T (x) t) = t+uqx tqx;				(3.2.6)
tjuqx = P(t < T (x) t + u) =
= P(T (x) > t) P(T (x) > t + u) = tpx t+upx;				(3.2.7)
tju	qx =	s(x + t) s(x + t + u)	:	(3.2.8)
		s(x)

нияСноважизни,случайи, как uобычно,= 1 наиболееэтот индексинтересенопускаетсядля. Согласнопрактикиформуламстрахова- (3.2.6), (3.2.7) и (3.2.8) имеем:

x t+1

s(x + t) s(x + t + 1)

: (3.2.9)

s(x)

t+1

x t

3.3 Среднее остаточное время жизни, его дисперсия. Коэффициент асимметрии и эксцесс

В актуарной математике среднее остаточного времени жизни человека возраста x обозначается


	ex= ET (x);
эту характеристику часто используют при анализе ситуации на рынке
			; и, следовательно, сред-
страховых услуг. Понятно, что ET (0) = EX =e			; и, следовательно, сред-
няя продолжительность жизни
жизни	x > 0:	e больше среднего остаточного времени
Òàêeкакдля любого
x

воспользовавшисьT (x) являетсятеоремойнеотрицательной2.4.1, получаем случайной величиной, то,

Z 1 Z 1

ex= ET (x) = t dFx(t) = t dP(T (x) t) =

= Z01 P(T (x) > t) dt = Z0

1 tpx dt:

Применив формулу (3.2.2) и преобразовав последний интеграл

tpx dt =

s(x + t) dt =

s(u) du;

s(x)

приходим к соотношению

ex=

s(u) du:

(3.3.1)

s(x)

Рассуждая аналогично, для второго начального момента случайной величины T (x) имеем:

E[T (x)]2 = 2 Z01 t P(T (x) > t) dt = 2 Z01 t tpx dt =

t s(x + t) dt;

откуда

s(x)

DT (x) =

t s(x + t) dt ex

s(x)

Для нахождения коэффициента асимметрии и эксцесса необходимо

определить E[T (x)]3 è E[T (x)]4 :

E[T (x)]3 =

= 3 Z0

t2P(T (x) > t) dt = 3 Z0

t2tpx dt =

t2s(x + t) dt;

s(x)

E[T (x)]4 =

t3s(x + t) dt:

s(x)

Пример 3.3.1. Найти среднее

дратическое отклонение

ex; дисперсию DT (x) и среднее ква-

(T (x)) =

остаточного времени жизни

T (xÐ) ве моделише н и дее. МуавраДляэтой. моделиpDT (x)

P(T (x) > t) =

s(x + t)

1 (x + t)=!

; 0

s(x)

Таким образом,

x=!

! x

! x t

dt =

u du =

! x

(3.3.2)

! x

! x Z! x

Проще формулу (3.3.2) получить из (3.3.1):

! t

dt =

u du =

! x

! x Zx

! x Z! x

Также нетрудно показать, что

DT (x) =

(! x)2

3.4Смешанное страхование. Частичная остаточная продолжительность жизни

илиРассмотримсмешанноеn-летнеестрахование,страхованиесуть которогона дожитиесостоит(n-yearв том,endowmentчто клиентinsurance)

заключаетлибов моментдоговорсмертистрахованиязастрахованного,на n лет, иесливыплатаона наступилапроизводится:до окон-

чаниялибоn-влетнегоконце периода,

Момент страховойn-летнеговыплатыпериода,выражаетсяесли застрахованныйформулой minостался жив. называется частичной продолжительностью жизни , а соответствую(T (x); n) è-

щее математическое ожидание частичной средней продолжительностью жизни и обозначается

ex:ne:

ex:ne= E min(T (x); n):

Чтобы применить теорему 2.4.1, необходимо найти вероятность P(min(T (x); n) > t): Òàê êàê äëÿ t < n событие min(T (x); n) > t равносильно событию

T (x) > t; òî

P(min(T (x); n) > t) =	t	0x;	åñëè
		p ;	åñëè

Привлекая формулу (3.2.2), получаем:

0 t < n t n:

n	tpx dt = s(x) Z0	n	s(x + t) dt = s(x) Zx	x+n
ex:ne= Z0	tpx dt = s(x) Z0		s(x + t) dt = s(x) Zx	s(u) du:
	1		1

Для дисперсии частичной продолжительности жизни имеем

n	t tpx dt (ex:ne)2 = s(x) Z0	n
D min(T (x); n) = 2 Z0	t tpx dt (ex:ne)2 = s(x) Z0	t s(x + t) dt (ex:ne)2:
	2

Пример 3.4.1. Найти среднее и дисперсию частичной продолжи-

тельности жизни в модели де Муавра.

Р е ш е н и е. Прежде всего отметим, что x + n < !; поэтому

x+n

ex:ne= s(x) Zx

s(u) du = 1 x=!

(1 u=!) du =

x+n(!

u) du =

2n(! x) n2

= n

: (3.4.1)

! x Zx

2(! x)

Из формулы (3.4.1) следует, что

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Экономика

#
24.05.20141.83 Mб5761Основы рекламы - Антипов К.В..doc
#
24.05.20145.93 Mб255Основы рекламы - Мудров А.Н..doc
#
24.05.2014844.09 Кб38Основы рыночного ценообразования - Шеховцева Л.С.pdf
#
24.05.2014278.55 Кб34Основы рыночной экономики - Марголин Ф.Б. и др..pdf
#
24.05.20141.35 Mб230Основы статистики - Кошевой О.С..pdf
#
24.05.2014634.88 Кб62Основы страховой (актуарной) математики - Г.М.Кошкин.pdf
#
24.05.20142.01 Mб53Основы страховой деятельности - Грищенко Н.Б..pdf
#
24.05.20142.01 Mб145Основы страховой деятельности - Грищенко Н.Б.pdf
#
24.05.20141.21 Mб201Основы теории коммуникации - Николаева Ж.В..pdf
#
24.05.2014234.36 Кб54Основы теории коммуникации - Шпаковская С.В., Шпаковский В.О..pdf
#
24.05.201419.75 Mб38Основы управления финансами - Ван Хорн Дж. К..pdf