Добавил:

Teana Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Таврический Национальный Университет им. В.И. Вернадского

Предмет:

Экономика

Файл:

Основы страховой (актуарной) математики - Г.М.Кошкин

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.05.2014

Размер:

634.88 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

В качестве финитного ядра гладких эмпирических функций выжи-

вания можно взять, например, равномерное в

[C1; C2] ÿäðî, äëÿ êîòî-

ðîãî Z(u) = 1

u C1

C2 C1

sN F in(x) ñ

финитнымНайдем ядромскорость сходимости к нулю смещения оценки

S(u) 2 F inS:

sN F in).

Лемма 6.3.3 (порядок сходимости смещения

Åñëè

s(z)

2 N0;1

(x);

sup f(x)

C <

; aN

x2R1+

òî ïðè N ! 1

b (sN

(x))

= O (aN ) :

(6.3.7)

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ òj

â fî. FПредставимin j

x y

(x) =

dF (y) =

N F in

S aN

Z0	S	aN		Zx	S	aN
= s(x) +		x y	dF (y) +				x y	1 dF (y):
= s(x) +			dF (y) +					1 dF (y):

Â ñèëó dF (y) = f(y)dy и ограниченности кривой смертей

EsN F in(x)

s(x) + C

2 x

x y

dy +

x y

1 dy3

Z S

Сделав в интегралах замену переменных u = xaN y , получим

jb (sfN F in(x))j CaN 6

x=aN 0

S (u) du + jS (u) 1j du7:

Так как при любом N интегралы

x=aN C2

S (u) du S (u) du < 1;

0C1

0C2

1 jS (u) 1j du C1	jS (u) 1j du < 1, òî jb (sfN (x))j = O (aN ) : •
	71

6.4Предельная дисперсия, скорость сходимости СКО и асимптотическая нормальность гладкой эмпирической функции выживания

определениеНайдем предельные6.3.1) и дисперсии оценок sfN (x) с ядром S(u) 2 Suv (ñì.

sfN F in(x).

òî Леммаïðè 6.4.1 (дисперсия sfN ). Если выполнены условия леммы 6.3.1,

N ! 1

(x) =

s(x) (1

s(x))

+ o

(6.4.1)

Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению дисперсии, учитывая

(6.3.3), имеем:

(x) =

x X1

> Z

x y

dF (y)

x y

dF (y)

(6.4.2)

S aN

;

Применяя к интегралам приемы из леммы 6.3.1, получаем:

•

(x) =

s(x)

s2(x) + o(1)

s(x) (1

s(x))

+ o

6.4. f

SLAP (u) 2 Suv;

Следствие1

6.4.1. Òàê êàê ÿäðî

то в силу леммы

N LAP

(x) =

s(x) (1

s(x))

+ o

6.3.Лемма3, òî ïðè6.4.2

). Если выполнены условия леммы

N ! 1

fF in

(дисперсия

N F in

(x) =

s(x) (1 s(x))

+ O

s(x) (1 s(x))

+ o

(6.4.3)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Применив к интегралам представления

(6.4Найдем.2)приемыглавныеиз леммычасти6асимптотических.3.3приходим к соотношениюСКОоценок (6.4.3).

•

sfN F in è sfN LAP (x):

ТогдаТеоремаïðè 6.4.1 (ÑÊO sfN F in). Пусть выполнены условия леммы 6.3.3.

N ! 1

u2 (s	) =	8		N
		>		s(x) (1	s(x))
N F in		>	1		;
		>	O		;
f		<		N
		>

+ o	N	; aN = o 1=pN ;
	1	aN = O 1=p		:

			N

Д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение теоремы следует из представ- (6ления.3.7).u2 (sfN F in(x)) = DsfN F in(x) + b2(sfN F in(x)) и результатов (6.4.3),

•

6.3.Теорема2. Тогда при6.4.2 (ÑÊO sfN LAP ). Пусть выполнены условия леммы

	N ! 1
u2 (s	) =	8	N
		>	s(x) (1	s(x))
N LAP		>	1	;
		>	O	;
f		<	N

+ o	N	; aN = o 1=pN ;
	1	aN = O 1=p		:

			N

Д о к а з а т е л ь с т в о. Следствие 6.4.1 и лемма 6.3.2 немедленно приводятОпределимк утверждениюпредельноетеоремыраспределение.• оценки

Введем обозначение:

= 1; 2; : : :

sN F in(x):

независимых одинаково f j;N gj=1 ; N

распределенных случайных последовательностьвеличинв схеме се-

рий (распределение j;N зависит от N).

Теорема 6.4.3 Если выполнены условия леммы 6.3.3 и

aN = o N 1=2

ïðè

N ! 1; òî

(6.4.4)

N [sN F in(x) s(x)] =) N1 f0; s(x)(1 s(x))g :

Ä î ê à ç àf

т е л ь с т в о. Представим

N F in

N [sN F in(x) s(x)] =

F in

fF in

(x) EsN

(x)) :

(6.4.5)

= N [s

(x)] + N b (sN

дится к нулю f

Ясно, что второе слагаемое в правой части (6.4.5) согласно (6.3.7) схо-

ïðè

! 1

b (sN F in(x)) = p

ho N 1=2 i ! 0:

(6.4.6)

Покажем, что для первого слагаемого в правой части (6.4.5) выполняются все условия центральной предельной теоремы в схеме серий [ ?, c. 435]or1. Пусть

j;N

pN S

x Xj

Таким образом, sN F in(x) EsN F in(x) =

j;N : Очевидно, что

E j;N = 0 è,

учитывая результат леммы 6.4.1,

j;N

E 2 =

x Xj

Также, согласно лемме 6.4.1

Nlim nE 12;N

= s(x) (1 s(x)) :

Проверим выполнение условия Линдеберга, которое является до-

статочным условием применимости центральной предельной теоремы.

Учитывая, что

sup1

(u) 1, для любого > 0 имеем

u2R

N = nE j 1;N j2 ; j 1;N j > <

E j 1;N j3

pN "

x X1

+ E

x X1

< 2C

здесь C < 1 некоторая положительная константа. Следовательно,

N = O N 1=2 ! 0 ïðè N ! 1, т.е. условие Линдеберга выполняется. Применяя центральную предельную теорему в схеме серий, полу- чаем, что

				N
p		p		Xj
	N N =			Xj	s(x))g :
	N N =		N j;N =) N1 f0; s(x)(1		s(x))g :
			=1

Учитывая (6.4.6), получаем требуемое утверждение (6.4.4). •

6.5 Гладкая эмпирическая функция распределения

су функцийОпределениераспределения6.5.1 . Борелевская функция F(u) принадлежит класстрого монотонно возрастающаяDis (F(uфункция,) 2 Dis),такая,еслиF(чтоu) непрерывная,

F( ) : R1 !

R1, F( 1) = 0; F(1) = 1:

строитсяПоаналогиигладкаясэмпирическаягладкой эмпирическойфункция распределенияфункциейвыживания sfN (x)

F		(x) =	1 N		x Xi	;	(6.5.1)

	N		N i=1 F		aN

f				X

гдеВпервыеF(u) 2 Disоценка,поcледовательностьтипа (6.5.1) былачиселпредложенаa # 0: Э.А. Надарая в 1964

гЕсли.[17].взятьФункцияядроF-распределение(u) называется ядром-распределением оценки (6.5.1).

F(u) = 1 S(u), ãäå S(u) 2 Suv èëè

S(u) 2 F inS, òî

(x) = 1

1 N

x Xi

= 1

(x):

(6.5.2)

N i=1 S

ство которых предоставляетсяF (x) отраженычитателюв .леммах и теореме, доказательСвойства оценки fN

ÅñëèЛеммафункция6.5.распределения1 (асимптотическая несмещенность и дисперсия FfN ).

вательность вещественных чиселF (z) 2 N0;1(x); F(u) 2 Dis; а последо-

aN # 0; òî

EFN (x) = F (x) + o(1); DFN (x) = N F (x) (1 F (x)) + o		N		:
1		1

аналогии с классом финитных ядер
Ïîf	f	F inS введем класс финитных
ядер-распределений		F inS введем класс финитных

F inF .

ныхОпределениефункций распределения6.5.2 . Функция F(u) принадлежит классу финит-

F inF (F(u) 2 F inF ), åñëè

(0; 1 < u < C1;

F(u) = Y (u); C1 u C2; 1; C2 < u < 1;

такая,где Y (u÷òî) непрерывная, строго монотонно возрастающая функция,

Y (C1) = 0; Y (C2) = 1; C1 < C2.

ßäðî F(u) 2 F in

Очевидно, что, еслиF будем называть финитным ядром-распределением.

Определим порядокF(uсходимости) 2 F in , òîêFíóëþ2 Disсмещения,. главную часть

финитнымасимптотическогоядром-распределениемСКО и предельное распределение оценки FfN F in(x) c

F(u) 2 F inF :

K( )

Лемма 6.5.2 (порядок сходимости смещения FfN F in). Åñëè

F (z) 2 N0;1(x); sup f(x) < 1; aN # 0; òî ïðè N ! 1

t2R1+

b FN F in(x) = O (aN ) :
	f

ТогдаТеоремаïðè 6.5.1 (ÑÊO FfN ). Пусть выполнены условия леммы 6.5.2.

N ! 1

u2 FN

= 8

F (x) (1

F (x))

+ o

; a

F in

;

Теорема 6.5.2 Если выполнены условия леммы

aN = o N 1=2 ; òî

= o 1= N ;

=O 1= N :

6.5.2è

NFfN (x) F (x) =) N1 f0; F (x)(1 F (x))g :

6.6Непараметрическое оценивание кривой смертей

Предполагаякачестве непараметрическойабсолютную непрерывностьоценки кривойядрасмертей-распределения F(u), â

ственно взять оценку вида:

f(x) = F 0(x) åñòå-

NaN

(x) =

i=1

(6.6.1)

d F

x Xi

;

ãäå K(u) = F0(u) почти всюду. Так как на последовательность чисел

öèèa #выживания0 для оценки(6кривой.3.1)будутсмертейнакладываться(6.6.1) по сравнениюдополнительныес оценкойусловия,функ-

то в дальнейшем оценку (6.6.1) будем записывать в виде

			NhN	N	hN
f	N	(x) =	NhN	i=1	hN		(6.6.2)
f		(x) =	1	K	x Xi	;	(6.6.2)
				X

гдеобязательнопоследовательностьобладающеечиселсвойствамиh # 0плотности,K(u) ядро,распределениявообще говоря,. не

Оценку (6.6.2) обычно называют ядерной или парзеновской, или оценкойтуры статистикитипа Розенблатта(6.6.2), играетПарзенароль.Параметрпараметраhмасштаба; как видноядраиз струк-

поэтому называется параметром размытости ядерной оценки кривой смертей.

Впервые класс оценок (6.6.2) был предложен М. Розенблаттом в 1956 году [18]. В этой работе была доказана асимптотическая несмещенность и состоятельность ядерных оценок. Позднее, в 1962 году, Е. Парзен доказал асимптотическую нормальность этих оценок [19].

Для непараметрических оценок плотности известен следующий интересный результат [18].

Лемма 6.6.1 . В условиях непараметрической априорной неопределенности не существует несмещенных оценок неизвестной плотности распределения f(x).

Доказательство леммы 6.6.1 имеется в [18], [16].

су Определение 6.6.1 . Борелевская функция K(u) принадлежит клас- A; åñëè

sup1 jK(u)j < 1;	jK(u)j du < 1; K(u)du = 1; K(u) 2 A ;
u2R	1
1	1

åñëè K(u) 2 A è K(u) удовлетворяет дополнительным условиям

1	1
Z	ju K(u)j du < 1; Tj = Z	ujK(u)du = 0; j = 1; : : : ; 1:
1	1

Выясним, при выполнении каких условий оценка (6.6.2) является стиасимптотическираспределениянесмещеннойнеотрицательнойдля кривойслучайнойсмертейвеличиныf(x); т.е. для плотно-

что в этом случае усложняются доказательства известных классическихX. Отметим,

результатов, в чем можно убедиться на примере всех лемм и теорем данного раздела.

Лемма 6.6.2 (асимптотическая несмещенность

fN ).

Если кривая смертей

f(x) 2 N0;1(R); ò.å. f(x) непрерывна на R1 =

(

1 1

x2R1+

K(u)du = 1;

;

), sup f(x)

;

K(u)

du <

;

последовательность вещественных чисел hN # 0; òî

lim

EfN (x) = f(x):

(6.6.3)

N!1

Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению математического ожидания
имеем	hN	1	hN
N		Z0
Ef (x) =	1	K		x y	f(y)dy:	(6.6.4)

Сделав в интеграле (6.6.4) замену переменных u =						x y	, получаем
Сделав в интеграле (6.6.4) замену переменных u =							, получаем
			1			hN
EfN (x) = hN			Z	( hN )K (u) f(x uhN )du =
	1
			x=hN
	1			1
=	Z	K (u) f(x uhN )du Z			K (u) f(x uhN )du:			(6.6.5)
	1			x=hN

В силу теоремы Лебега о мажорируемой сходимости (см. теорему 1П приложения 4) в (6.6.5) получаем: для первого интеграла

1 1

lim	K (u) f(x	uh		)du = f(x)		K (u) du = f(x);
N!1 Z			N		Z
1					1
а для второго интеграла						1
1						1
lim	K (u) f(x uhN )du C1				lim	K (u) du = 0:
N!1 Z	K (u) f(x uhN )du C1				N!1 Z
x=hN						x=hN

(6.6.6)

(6.6.7)

НайдемТеперь издисперсию(6.6.6) и (6оценки.6.7)сразу(6.6.2)следует. утверждение (6.6.3).

•

Определение 6.6.2 . Для последовательности вещественных чи-

N!1 hN = 0; N!1

NhN

ñåë h

> 0 условия lim

lim

= 0; обозначим

соответственно H1; H2:

Лемма 6.6.3 (дисперсия fN ). Если выполнены условия леммы 6.6.2,

K2(u)du < 1 è hN 2 H2;

òî ïðè N ! 1

DfN (x) = NhN

K2(u)du + o

NhN

(6.6.8)

f(x)

Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению дисперсии

Nh2

Df (x) =

DK x X1 =

K2 x y f(y)dy

x y

f(y)dy

(6.6.9)

После замены переменных u =

x y

в интегралах (6.6.9) получаем

DfN (x) =

= NhN 2 Z

K2(u)f(x uhN )du hN 0 Z

K(u)f(x uhN )du

4 1

@ 1

uhN )du12

uhN )du3:

K(u)f(x

(u)f(x

x=hN

Далее, рассуждая также, как и в лемме 6.6.2, приходим к доказыва-

емому утверждению:

DfN (x) = NhN

2f(x) Z

K2(u)du + hN (f(x) + o(1))2 + o(1)3

K2(u)du + o NhN

: •

= NhN Z

f(x)

стиДляСКО,построениянеобходимооценокопределитьf (x)порядок,оптимальныхсходимостипо скоростик нулю смещениясходимо-

b (fN (x)).	f( )(x)
Обозначим w (x) =	f( )(x)		T ; ãäå
Обозначим w (x) =	!		T ; ãäå
f( )(x) =		@ f(x)				(x) = f(x):
					; f(0)
			@x		; f(0)
			@x
				79

ЛеммаПусть 6.6.4 (скорость сходимости смещения b(fN )).

1)кривая смертей f(z) 2 N ;1 (R) ;

2)	sup f(m)(x) < 1; m = 0; ;

	x2R1
3)	ÿäðî K(u) 2 A без условия sup1 jK(u)j < 1;
		u2R	x
4)	1 K(x) = o x ïðè x ! 1; ãäå K(x) =		Z	K(u)du;

Тогда5) hNïðè# 0:

N ! 1 смещение b(fN ) удовлетворяет соотношению

		jb(fN (x)) w (x)hN j = o (hN ) :		(6.6.10)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Ранее, в (6.6.5), было показано, что
	1	1
EfN (x) =	Z	f(x uhN )K(u)du Z	f(x uhN )K(u)du:	(6.6.11)
	1	x=hN

Для второго интеграла представления (6.6.11), учитывая ограниченность f(x) и условие 4) доказываемой леммы, имеем при N ! 1

1		1
Z	f(x uhN )K(u)du C	Z	K(u)du =
x=hN		x=hN

= C	1 K	hN		= o(hN ):	(6.6.12)
			x

мулеВ первомТейлораинтегралес остаточным(6.6.11),членомразложивв формефункциюЛагранжаf(x(ñìuh. утвержде) ïî ôîð--

ние 3П приложения 4), получим

		1							hi
		Xi			i		(i)		N
EfN (x) = f(x) +			=1	( 1)		f		(x)	i!	Ti+
			=1
	h		1
+( 1) f( )(x)	N	T + N	Z	f(x uhN )K(u)du;							(6.6.13)
+( 1) f( )(x)	!	T + N	Z	f(x uhN )K(u)du;							(6.6.13)

x=hN

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Экономика

#
24.05.20141.83 Mб5761Основы рекламы - Антипов К.В..doc
#
24.05.20145.93 Mб255Основы рекламы - Мудров А.Н..doc
#
24.05.2014844.09 Кб38Основы рыночного ценообразования - Шеховцева Л.С.pdf
#
24.05.2014278.55 Кб34Основы рыночной экономики - Марголин Ф.Б. и др..pdf
#
24.05.20141.35 Mб230Основы статистики - Кошевой О.С..pdf
#
24.05.2014634.88 Кб62Основы страховой (актуарной) математики - Г.М.Кошкин.pdf
#
24.05.20142.01 Mб53Основы страховой деятельности - Грищенко Н.Б..pdf
#
24.05.20142.01 Mб145Основы страховой деятельности - Грищенко Н.Б.pdf
#
24.05.20141.21 Mб201Основы теории коммуникации - Николаева Ж.В..pdf
#
24.05.2014234.36 Кб54Основы теории коммуникации - Шпаковская С.В., Шпаковский В.О..pdf
#
24.05.201419.75 Mб38Основы управления финансами - Ван Хорн Дж. К..pdf