Основы страховой (актуарной) математики - Г.М.Кошкин

МУЖЧИНЫ (СССР, 1984 1985 г.) [5, с.86]

s(x) = 0; x > !:

В связи с этим таблицы продолжительности жизни (ТПЖ) составляютсяаналитически,обычно длявремяцелыхжизни,x !:какОднакоправило,длянеограничено,функций s(x)причем; задаваемыхпара-

точнометрымалойs(x) подбирают. так, чтобы вероятность PfX > !g была доста-

или моментыl = 100000смерти:)и будем фиксировать их продолжительности жизни

X1; X2; : : : ; Xl : Введем для события A индикатор

I(A) = f1; если событие A произошло; 0; в противоположном случаеg:

11

естьТогдаслучайнаячисло величинапредставителей этой группы, доживших до возраста x;

Из формулы (2.1.2) следует, что

функции1)криваявыживанияl изменяется в зависимости от возраста x аналогично

x

2) s(x) с точностью до множителя-константы l ;

сматриваемойs(x) = l группы=l этоноворожденныхсредняя доля .доживших до возраста x èç ðàñ-

x

мужчинСогласнообозначает,ТПЖ, представленнойчтоиз 100000 новорожденныхв Приложении 1,до lвозраста= 95; 43814 летдля

14

доживает в среднем 95438 мальчиков, а средняя доля доживших до возраста 14 лет из данной группы новорожденных равна s(14) = 0; 95438.

2.2 Кривая смертей (the curve of deaths)

Рассмотрим данные ТПЖ для населения США предыдущего парапервыеграфа и10проинтерпретируемлет жизни умрет примерноихпо другому17 человек,.Если взятьот 10läî=201000ëåò; òî6â

человек, от 20 до 30 лет 12 человек, от 30 до 40 лет 16 человек, от 40 до 50 лет 34 человека, от 50 до 60 лет 78 человек, от 60 до 70 лет 155 человек, от 70 до 80 лет 250 человек, от 80 до 90 лет 290 человек, от 90 до 100 лет 130 человек, от 100 до 110 лет 12 человек.

Очевидно, что эти данные, разбитые на интервалы, более наглядно характеризуют смертность, по сравнению с данными, представленными в упомянутой таблице. Например, мы можем выделить первое десятилетие, в котором смертность втрое выше, чем во втором, самом безопасном десятилетии, или период от 70 до 90 лет, за который умирает 540 человек,.человек что составляет более половины исходной группы в l0 = 1000

12

Теперь становится понятным введение для интервала возрастов (x; x+ t) случайной величины

котораягруппы равна числу умерших в возрасте от x äî x+t из фиксированной

tdx = E[L(x) L(x + t)] = lx lx+t = l0[s(x) s(x + t)];

ãäå s(x) s(x+t) = P(x < Xi x+t) вероятность смерти в промежутке

термин кривая смертей (theX; иcurveза нейofвdeaths)актуарной. математике закреплен

ближенноПокажем,какчтокриваякриваясмертейd от переменной возраста x изменяется при-

x

f(x) с точностью до множителя-константы

ãäå 2 (x; x + 1): Òàê êàê s(x) почти не меняется в течение года, то

dx = l s0( ) l s0(x) = l f(x):

Формула (2.2.2) доказана.

Резюмируя, можно сказать, что кривая смертей в каком-то смысле является более тонкой характеристикой по сравнению с функцией выживания.

13

2.3Функция интенсивности смертности (force of mortality)

Âсвою очередь, по сравнению с кривой смертей более тонкой характеристикой является функция интенсивности смертности. Найдем вероятностьших смерти человека, дожившего до x лет, в течение ближай-

t лет, т.е. в промежутке (x; x + t] :

P(x < X x + tjX > x) = P(x < X x + t \ X > x) = P(X > x)

Применяя формулу Тейлора к функции F (x + t) в (2.3.1), получаем

0

F (x + t) F (x) = F (x) + F ( ) t F (x) = f( ) t; 2 (x; x + t): (2.3.2)

Если величина t мала или функция f( ) слабо изменяется в промежутке ство:(x; x + t); то согласно (2.3.1) и (2.3.2) справедливо приближенное равен-

называется функцией интенсивности смертности и является важной характеристикой страховой математики. Согласно (2.3.4) и (2.3.3) вели- вчинаинтервалеt приближенно равна вероятности смерти человека возраста x

x

Важность(x;функцииx + t):

x подтверждается и тем, что ее приближение qx приводится в ТПЖ (см. Приложение 1) также в качестве основной:

затем проинтегрируем обе части полученного равенства от нуля до x

Из свойств I) III) следует, что функция интенсивности смертности может быть использована как основная характеристика продолжительности жизни наряду с функцией распределения, функцией выживания и плотностью распределения.

2.4 Теоремы о моментах неотрицательных случайных величин

Приведем с доказательствами две полезных теоремы из ([1, с.62 64]), с помощью которых удобно находить моменты неотрицательных случайных величин как непрерывного, так и дискретного типа. Здесь и в дальнейшем конец доказательств теорем и лемм будем отмечать зачерненным указателем •.

15

чайнаяТеоремавеличина2.4.1с функцией(непрерывныйраспределенияслучай). Пусть X непрерывная слу-

1)F (0) = 0;

2)функция z(x) неотрицательна, монотонна и дифференцируема,

Z1

3)среднее Ez(X) = z(x)f(x)dx < 1: Тогда

0

0

Д о к а з а т е л ь с т в о. Интегрируя по частям, имеем

Z x Z x

z(t)f(t)dt = z(t)d[1 F (t)] =

00

ÍîZ 1согласно условию 3) доказываемой теоремы несобственный интеграл z(x)f(x)dx сходится, поэтому

0

Z 1

lim z(s)f(s)ds = 0;

t!1 t

и, следовательно, тем более

lim z(t)[1 F (t)] = 0: •

t!1

16

Аналогично для EX2 получаем z(x) = x2; z(0) = 0; z0(x) = 2x è

Закон де Муавра не отражает многие характерные особенности, связанные с продолжительностью жизни человека. Например, в рассматриваемой модели кривая смертей является горизонтальной прямой, а эмпирические кривые имеют максимум в районе 80 лет.

Модель Гомпертца (Gompertz)

ëîéВ этой модели (1825 г.) интенсивность смертности задается форму-

x = f(x) = B e x; s(x)

ãäå > B > 0 некоторые параметры. Здесь функция выживания

Z x Z x

s(x) = exp udu = exp B e udu =

0 0

кривая смертей равна = exp [ B (e x 1)= ] ;

f(x) = xs(x) = B exp [ x B (e x 1)= ]

19

и имеетЭту информациюмаксимумв точкеможноx =использовать(ln ln B)ïðè= (смнахождении.Задание 2оценок.6.2). па-

симальнаяраметров смертностьиB: Так, еслинаблюдаетсяиз каких-длятопосылоквозрастанам78,3известно,года, а квартильчто мак-

Систему нелинейных уравнений (2.6.1) можно решить на компьютере численными методами.

Модель Мэйкхама (Makeham)

Позднее, в 1860 г., Мэйкхам предложил приближать интенсивность смертности более общей функцией вида

x = A + B e x;

агдеслагаемоепараметр A учитывает риски, связанные с несчастными случаями, B e x учитывает влияние возраста на смертность. Здесь