Добавил:

Teana Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Таврический Национальный Университет им. В.И. Вернадского

Предмет:

Экономика

Файл:

Основы страховой (актуарной) математики - Г.М.Кошкин

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.05.2014

Размер:

634.88 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

f(x)

; n < x < n + 1:

s(x)

pn + (x n)qn

Пример 4.1.1. Подсчитайте вероятность того, что мужчина СССР

(80) середины 80-х годов при предположении о равномерном распреде-

лении смертей умрет в возрасте от 80

2 ëåò.

Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой2 äî

s(x) = (n + 1 x)s(n) + (x n)s(n + 1); n x n + 1;

согласно которой

s(80) + 802 80 s(81) = 0; 5(s(80) + s(81));

s 802

= 81 802

= 0; 5(s(81) + s(82)):

Таким образом,

1 < T(80) < 11

s 80

s 81

s(80)

= 0; 5

s(80) + s(81) s(81) s(82)

= 0; 5

1 s(80)

s(80)

! =

= 0; 5

1 s(81) s(80)

s(82)

s(82) s(81)

=0; 5(1 p81p80) = 0; 5(1 (1 q81)(1 q80)) =

=0; 5(1 (1 0; 12548)(1 0; 11672)) =

=0; 5(1 0; 874520_; 88328) = 0; 11378:

4.2Распределение дробного возраста

частьВведемвеличиныслучайную величину = fXg, где fXg обозначает дробную ставить суммой целойX. Теперьи дробнойпродолжительностьчастей: жизни X можно предокругленное время жизни. Понятно, чтоXвеличина= K(0)+ , где K(0) = [X] смерти внутри года. Найдем условное распределение описывает момент смерть наступила в возрасте при условии, что

n ëåò:

Pf tjK(0) = ng = PfX K(0) tjK(0) = ng =

= PfX t + njn X < n + 1g = PfX t + n; n X < n + 1g = Pfn X < n + 1g

=	Pfn X n + tg	=	s(n) s(n + t)	; 0 < t < 1:	(4.2.1)
	Pfn X < n + 1g		s(n) s(n + 1)

Величинаотсутствует,s(nпоэтому+ t); точнеепри ееlнахождении,когда nвоспользуемсяцелое, а 0 <приближениямиt < 1; â ÒÏÆ

n+t

для дробных возрастов.

При постулате равномерного распределения смертей формула (4.2.1),образом:если взять в s(x) аргумент x = n + t; преобразуется следующим

Pf tjK(0) = ng =

s(n) [(n + 1 n t)s(n) + (n + t n)s(n + 1)]

s(n) s(n + 1)

t(s(n) s(n + 1))

= t;

0 < t < 1:

s(n) s(n + 1)

f(tj)

1 F (tj)

1 t

Итак, при этой интерполяции

1) смерть в любой день между двумя днями рождений человека рав-

новероятна;

поэтому2)условноесовпадаетраспределениес безусловнымPfраспределениемtjK(0) = ng не зависит от n è

3) случайные величины

P( t);

Для постулата постояннойK(0)интенсивностиинезависимысмертности. аналогично

имеем:

s(n)

s(n + t)

t K(0) = n

f j

s(n)

s(n + 1)

s(n)

s(n)pn+t n

s(n)(1

pt )

; 0 < t < 1:

s(n) s(n + 1)

s(n) s(n + 1) 1

f(t ) = F 0(t ) =

pnt lnpn

;

1 pn

1 + pt

(pt 1

s(t ) = 1

F (t ) = 1

;

1 pn

f(tj)

pnt lnpn

pnt 1lnpn

s(tj)

pn(pnt 1 1)

pnt 1 1

Рассуждая аналогично, также можно получить формулы для f(tj); Замечаниеs(tj); (tj) и.Вообщеприпостулатеговоря,Балдуччиформулы.при постоянной интенсив-

ности смертности удобнее выразить через qn = 1 pn, так как величина qn имеется в ТПЖ.

4.3 Среднее и дисперсия дробного возраста

пилаНайдемв возрастесреднее дробного возраста при условии, что смерть насту- n ëåò:

Z 1

a(n) = Ef jK(0) = ng = Pf > tjK(0) = ngdt:

Очевидно, что

Pf > tjK(0) = ng = 1 Pf tjK(0) = ng =

= 1

s(n) s(n + t)

s(n) s(n + 1)

= s(n) s(n + 1) sn) + s(n + t) = s(n) s(n + 1)

= s(n + t) s(n + 1): s(n) s(n + 1)

Отсюда

a(n) = s(n) s(n + 1)

Z 1

[s(n + t) s(n + 1)]dt:

характереПодсчитаемсмертноститеперьдлявеличинудробныхa(возрастовn) для всех. трех предположений о

Равномерное распределение смертей. Ясно, что

[(n + 1

t)s(n) + (n + t n)s(n +

1) s(n + 1)]dt

a(n) =

s(n) s(n + 1)

[(1

t)s(n) + ts(n + 1) s(n + 1)]dt =

01(1 t)dt

s(n) s(n + 1)

;

ò.å.÷òî aинтуитивно(n) совпадаетмысисерединойожидали одногодичногополучить. временного промежутка,

Постоянная интенсивность смертности. В этом случае

a(n) = s(n) s(n + 1)	Z0	1
a(n) = s(n) s(n + 1)	Z0	[s(n)pnn+t n s(n + 1)]dt =
1
		43

= s(n) s(n + 1) Z0

pn pn

= qn "

pn 0 pn# =

s(n)

lnn

p 1

lnpn

вавшись

pn = 1 qn;

Поскольку

а величина

достаточно мала, то, воспользо-

представлением

ln(1 x) = x

+ o(xn);

разложим lnpn в ряд по степеням qn

lnpn = qn

qn2

qn3

:::;

после чего приходим к следующим оценкам для a(n):

a(n) =

+ O(qn2 ) =

+ o(qn):

(4.3.1)

Докажем равенство (4.3.1). Так как

ln1

1 qn

qn +

+ :::

= 1 +

= 1

qn2

qn3

+ :::

;

qn2

qn3

qn4

qn +

2 +

+ :::

qn +

+ :::

окрестностито, разложивточкифункцию2 (отношение) двух переменных в ряд Тейлора в q2n ; qn2 ; получаем

ln1

1 q3

qn2

qn4

= 1

+ :::

+ o(qn) =

+ o(qn);

что и требовалось доказать.

Åñëè q

порядка n не слишком мало, то имеет смысл учитывать и слагаемые

O(qn2 ) :

qn2

2qn2 2

a(n) = 1

+ :::

1 qn

qn2

+ ::: =

+ o(qn):

Постулат Балдуччи. Здесь

s(n + 1)

a(n) =

s(n) s(n + 1)

pn + tqn

Zln

s(n + 1)

s(n) s(n + 1)

pn + tqn

= qn "

0 1# = qn

1 =

(pn

+ tqn)

p n

(qn + lnp

n) =

qn 1

:::

qn2

= (q

qn2

:::

q n

qn2

+ o(q

) =

qn2

+ o(qn):

Дисперсию будем находить по следующей формуле:

b(n) = Df jK(0) = ng =

= s(n) s(n + 1)

[s(n + t) s(n + 1)]dt a2(n):

дробныхПодсчитаемвозрастоввеличину. b(n) для всех трех постулатов смертности

Равномерное распределение смертей. Для этого постулата

b(n) = s(n) s(n + 1)				Z0	1
b(n) = s(n) s(n + 1)				Z0	t(1 t)[s(n) s(n + 1)]dt 4 =
		2										1
= 2 Z0	1				2		3
= 2 Z0	1	(t t2)dt 4 = 2			2		3	4	= 1 3	4	= 12:
			1			1	1	1	2	1	1

ПостояннаяZ 1 интенсивность смертности. Ранее мы получили, что a(n) = 1 [pt pn]dt, поэтому

qn 0 n

t(pnt pn)dt a2(n) =

b(n) = qn Z0

= qn Z0

tpndt

tpnt dt Z0

12 + o(qn)

ln2pn

= 2 pn

+ o(q

) =

qnlnpn

qnln2pn

2qn

= 2

1 qn

[:::] =

= 2

qnlnpn

+ ln2pn 2qn + 2

[:::] =

ln1

2lnpn

2qnlnp + 2qn

ln2pn

= 2

[:::] =

2qnln2pn

= 2

2qn qn2

32 qn3 21 qn4 ::: + 2qn2 + qn3 + 32 qn4 + :::

2qn3 + 2qn4 + :::

2qn qn2 qn3 1211 qn4 :::

[:::] =

2qn3 + 2qn4 + :::

= 2

32 qn3 43 qn4 :::

[:::]:

2qn3 + 2qn4 + :::

После разложения отношения в ряд Тейлора в окрестности точки

имеем

2 q3

2qn3

4qn6

b(n) = 2

3 n

2q4

:::

[:::] =

	2
	3qn3 ; 2qn3 ;

= 2		6		8qn +	3qn :::			4	12 + :::		=	12 + o(qn):
		1		3	1			1		qn		1

Постулат Балдуччи. Здесь

b(n) = qnn Z0		1	pn + tqn 1	dt
b(n) = qnn Z0		t	pn + tqn 1	a2(n) =
	2p		1
			46

tdt a2(n) =

= 2qpnn Z0 pn + tqn dt Z0

2pn

pn + tqn pn

2pn

(n) =

qn2

pn + tqn

qn2

+ tq n q n

a (n) =

1 pn Z0 pn

2pn

qn2

qn a2(n) =

1 qn ln(pn + tqn) 0

2pn

1 + pn

(n) =

qn2

2(1 qn) + 2(1 qn)2lnpn

1 qn

(n) =

qn2

qn3

2(1 2q + qn2 )lnpn

+ 1

a2(n) =

qn2 qn

qn3

2lnpn

4lnpn

2lnpn

+ 1 a2(n) =

::: +

qn3

n qn

qn +

+ :::

:::

+ 1

a2(n) =

qn2

::: +

+ 2 +

qn + :::

qn2

2 qn :::

+ 1

+ ::: =

= 1

+ ::: =

+ o(qn):

Обсудим полученные результаты. Для женщин СССР возраста

персийлет постулатов постояннойПоэтомуинтенсивностипорядок ошибкисмертностидля среднихи Балдуччии дис-

q30

= 0; 00106:

составляети

O(q2

)

10 6: Для больших возрастов формулы для a(n)

мер,b(nдля) следуетженщиниспользоватьСССР возрастас учетом слагаемых

qn;

так как, напри-

82 ëåò q82 = 0; 10155, и в этом случае

O(q822 ) 10 2.

Также на практике в некоторых случаях согласно полученным выше результатам,следующие простыепредположиваппроксимациинезависимостьдля среднегоK(0) è è; можнодисперсиииспользоватьостаточ-

ного времени жизни:

ex ex +

;

DT (x) DK(0) +

4.4

Табличные величины

Lx, Tx, их связь между со-

áîé è ñ

a(x)

Величины

образца в

Приложениииспользуют3 приведен вфрагментболее подробныхТПЖ дляТПЖнаселения.В качествеСША

(1979 81) [1, c.55 58].

Lx среднее суммарное число лет, про-

Будем обозначать символом

житое между моментами

исходной группы

x è x + 1, x целое, всеми представителями

1) среднее суммарноеl0. Понятно,числочтолет,онопрожитоескладываетсямежду моментамииздвух слагаемых: теми представителями исходной группы, которые умерли в возрастеx è xîò+1

лет, даваемое);

живыми представителями

x äî2)xсреднее+ 1 (этасуммарноевеличина числоравна dxa(x)

lx+1 1ãîä = lx+1).

Èòàê,

x+1

исходной группы к моменту

(эта величина равна

Lx = dxa(x) + lx+1 =

Z01

[s(x + t) s(x + 1)]dt + lx+1 =

s(x) s(x + 1)

= lx

lx+1 Z0 [lx+t lx + 1]dt + lx+1 =

= Z01

[lx+t lx + 1]dt + lx+1 = Z01 lx+tdt:

(4.4.1)

Поскольку в ТПЖ обычно табулируют величины

Lx, òî ñ

их помощью можно подсчитать

÷òî

a(x). Действительно, из (4.4.1) следует,

откуда

Lx lx+1 = dxa(x);

Lx lx+1

a(x) =

(4.4.2)

lx lx+1

Пример 4.4.1. По данным общей ТПЖ (Приложение 3) найдите a(20)Ð;åaø(80)å í; aè(106)е. Согласно; a(107); aформуле(108): (4.4.2) имеем

a(20) =				L20 l21		=		97682 97623			=		59	= 0; 5;
												118
				d20					118
a(80) =			L80 l81			=	41694 40208			=		1486		= 0; 5;
												2972
				d80					2972
a(100) =	983 815				= 0; 501;				a(106) =		99		78		= 0; 512;

		335											41
a(107) =		99 78			= 0; 512;				a(108) =		42		33		= 0; 5:

		41											18

имеетТакместокак aравномерная(i) 0; 5; то смертностьизэтого примерамеждувидно,двумячто,днямипо-видимому,рождения

для индивидуумов любых возрастов.		Tx
Будем обозначать символом
прожитых всеми представителями					суммарное число лет,
	группысреднееиз
тервале				l0 новорожденных на ин-
(x; 1). Понятно, что			Z0
Tx = l0E[(X x)I(x x > 0)] = l0				1(X x)dPfX x tg =

Z 1 Z 1

= l0 PfX x > tgdt = l0 PfX > x + tgdt =

0 0

Z 1 Z 1

= l0 s(x + t)dt = l0 s(u)du:

Теперь формуле

ex= ET (x) можно придать следующий вид:

ex= ET (x) =

s(u)du =

: (4.4.3)

s(x)

l0s(x)

Пример 4.4.2. По данным общей ТПЖ (Приложение 3) найдите

Ðeе ш е н и е. Согласно формуле (4.4.3) имеем

;

80 :

T20

5420937

T80

344612

e20=

= 55; 462;

e80=

= 7; 98:

l20

97741

l80

43180

Также с помощью величин Ln; n x; можно подсчитать величину

Tx :	Tx = l0 Z 1 s(u)du = l0			1 Z x+k+1 s(u)du =
	Tx = l0 Z 1 s(u)du = l0			1 Z x+k+1 s(u)du =
				X
		x		k=0 x+k
1	1	1		1	1	1
= l0 k=0 Z0	s(x + k + t)dt = k=0 Z0			lx+k+tdt = k=0 Lx+k = n=x Ln:
X			X		X	X
Таким образом,
Таким образом,		1
			Tx = X Ln:			(4.4.4)

n=x

Пример 4.4.3. По данным общей ТПЖ (Приложение 3) с помощьюР формулыеш е н и (4е. .4Удобнее.4)подсчитайтесначала Tнайтии T :

100 105

	T105 :
	1
	nX
T105 = L105 + L106 + L107 + L108 + L109 +		Ln = L105 + L106 + L107+
	=110
+L108	+ L109 + (T109 L109) = 150 + 99 + 64 + 42 + 27 + (73 27) = 428:
Далее,	T100 = T105 + L104 + L103 + L102	+ L101 + L100 =
	T100 = T105 + L104 + L103 + L102	+ L101 + L100 =
	= 428 + 223 + 330 + 481 + 692 + 983 = 3137:
	Можно применять для интерполяции, вообще говоря, и парабо-
лические, и кубические сплайны, но, по-видимому, улучшение точности
результатов не оправдывается усложнением вычислительных формул.
4.5	Контрольные задания
	Задание 4.5.1
Используя ТПЖ из Приложения 1 подсчитайте вероятности (в про-
центах), что мужчина (77) умрет в возрасте от 77			5	78	11

					12 (интервал
1,5 ãîäà):		12 äî			12 (интервал

1)в предположении о равномерном распределении смертей,

2)в предположении Балдуччи для дробных возрастов,

3)в предположении о постоянной интенсивности смертности.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Экономика

#
24.05.20141.83 Mб5761Основы рекламы - Антипов К.В..doc
#
24.05.20145.93 Mб255Основы рекламы - Мудров А.Н..doc
#
24.05.2014844.09 Кб38Основы рыночного ценообразования - Шеховцева Л.С.pdf
#
24.05.2014278.55 Кб34Основы рыночной экономики - Марголин Ф.Б. и др..pdf
#
24.05.20141.35 Mб230Основы статистики - Кошевой О.С..pdf
#
24.05.2014634.88 Кб62Основы страховой (актуарной) математики - Г.М.Кошкин.pdf
#
24.05.20142.01 Mб53Основы страховой деятельности - Грищенко Н.Б..pdf
#
24.05.20142.01 Mб145Основы страховой деятельности - Грищенко Н.Б.pdf
#
24.05.20141.21 Mб201Основы теории коммуникации - Николаева Ж.В..pdf
#
24.05.2014234.36 Кб54Основы теории коммуникации - Шпаковская С.В., Шпаковский В.О..pdf
#
24.05.201419.75 Mб38Основы управления финансами - Ван Хорн Дж. К..pdf