9. Автогенераторы гармонических колебаний. Мягкий и жесткий режимы самовозбуждения. Стационарный режим. Метод медленно изменяющихся амплитуд (метод укороченного уравнения) (Хазан)

Автогенераторы представляют собой нелинейные устрой­ства, преобразующее энергию питания в энергию колебаний без внешнего воздействия. Работа любого автогенератора основана на том, что энергия от источника питания через управляемый элемент, например транзистор, подается в колебательную систему. Сигнал, управляющий транзистором, снимается с этой же колебательной системы и подается на входной электрод транзистора через цепь обратной связи. Независимо от схемы и назначе­ния АГ должен иметь источник питания, усилитель и цепь положительной обратной связи. АГ является первичным источником колебаний, частота и амплитуда которых определяется только собственными пара­метрами схемы и должны в очень малой степени зависит от внешних условий.

При анализе и расчете автогенераторов возникают две основные задачи:

1. Выяснить, при каких условиях устройство с обратной связью становится неустойчивым, т.е. самовозбуждается;

2. Определить амплитуду и частоту автоколебаний в стационарном режиме.

Н а рис.1 изображена схема лампового автогенератора с индуктивной обратной связью.

На рис. 1 обозначено :

L - индуктивность контура;

C - емкость контура;

Rн- сопротивление нагрузки;

M-коэффициент взаимоиндукции;

Lтр- индуктивность трансформатора обратной связи;

Rc - сопротивление автосмещения в цепи сетки;

Сс- емкость автосмещения в цепи сетки

Рис.1

В качестве колебательных систем с высокими эталонными свойствами часто используются кварцевые резонаторы и ре­зонаторы со сверх проводимостью.

Стационарный режим

Режим, когда амплитуда автоколебаний достигает некоторого установившегося значения и в дальнейшем остается практически постоянной, называется стационарным. Он достигается за счет того, что по мере роста амплитуды существенную роль начинают играть нелинейные свойства управляемого элемента.

Стационарных режим автоколебательной системы устойчив, если при малых отклонениях амплитуды гармонических колебаний от стационарного значения система стремится вновь вернуться к состоянию с той же стационарной амплитудой.

Уравнение для определения стационарной амплитуды автоколебаний:

Здесь: Q – добротность контура, М – коэффициент взаимоиндукции, S₁(U) – средняя крутизна ВАХ, о - частота колебаний автогенератора [рад/с]: .

Положительные корни этого уравнения определяют стационарные значения U_ст амплитуды автоколебаний.

Средняя крутизна ВАХ равна отношению амплитуды первой гармоники тока к амплитуде первой гармоники напряжения на входе нелинейного элемента.

Мягкий и жесткий режимы

В зависимости от того, в какой области ВАХ располагается рабочая точка нелинейного элемента, характеристика S₁(U) имеет одну из 2х форм (рис.2). Если средняя крутизна монотонно убывает с увеличением амплитуды управляющего напряжения, то говорят, что автогенератор работает в мягком режиме самовозбуждения (рис.2а). Горизонтальная линия с ординатой RC/M – прямая обратной связи. Точка пересечения кривой S₁(U) и прямой обратной связи определяет единственную амплитуду стационарных автоколебаний U_ст. На рис.2б – жесткий режим самовозбуждения. Здесь возможно 2 стационарных режима с различными амплитудами U_ст1 и U_ст2.

Рис. 2	Рис. 3	Рис.4

Рассмотрим процессы, протекающие в автогенераторе с мягким режимом самовозбуждения (рис.3).

Если М настолько мал, что прямая обратной связи 1 не пересекает кривую S₁(U), то единственное устойчивое состояние системы – состояние покоя с нулевой амплитудой автоколебаний. Если М увеличивать, то при М_кр=RC/S (прямая 2) автогенератор самовозбудится при сколь угодно малой амплитуде стационарных колебаний. Дальнейший рост М приведет к плавному увеличению амплитуды генерируемых автоколебаний, т.к. прямая 3 перемещается вниз.

Меньшему коэффициенту взаимной индукции М1 соответствует меньшая стационарная амплитуда U_ст1. Большему коэффициенту взаимной индукции М2 соответствует большая стационарная амплитуда Uст2.

Для жесткого режима (рис.4).

Если система первоначально находится в состоянии покоя, а прямая обратной связи занимает положение 1, то автоколебания не возникают, несмотря на то что имеются 2 точки стационарного режима – неустойчивая а и устойчивая б. Если с помощью внешних источников в системе возбуждены колебания с резонансной частотой и амплитудой соответствующих точке а, то поскольку крутизна возрастает с увеличением амплитуды, возникшие колебания будут неустойчивыми. Амплитуда их будет нарастать пока система не перейдет в точку б, характеризующуюся постоянной стационарной амплитудой U_ст1. Если прямая обратной связи занимает положение 2, при котором неустойчивым является стационарный режим с бесконечно малой амплитудой колебаний, то возбужденные автоколебания будут нарастать пока их амплитуда не достигнет в пределе стационарного уровня U_ст2. Если потом уменьшать М, то амплитуда будет плавно падать пока не станет равной U_ст3 и прямая обратной связи не займет положение 3. Дальнейшее уменьшение М приводит к срыву автогенератора.

Уравнение автогенератора является дифференциальным уравнением 2-го порядка:

.

Здесь: Lк - индуктивность контура; Cк - емкость контура; Uк - напряжение на контуре; Sср- средняя крутизна вольт-амперной характеристики (ВАХ) нелинейного элемента; Uкm - амплитуда колебаний на контуре; о - частота колебаний автогенератора [рад/с]: .

Для возникновения колебаний коэффициент при первой производной напряжения на контуре должен иметь отрицательный знак. Когда этот коэффициент становится равным нулю, то имеет место стационарный режим с постоянной амплитудой колебаний.

При достаточно высокой добротности контура Q = Rн/ ( - волновое сопротивление контура: ² = Lк/Cк) и в мягком режиме возбуждения колебаний амплитуда этих колебаний изменяется медленно по отношению к собственному периоду, как показано на рис.5. Поэтому, не смотря на присутствие нелинейного элемента, напряжение на контуре мало отличается от гармонического колебания с частотой ω₀.

Рис.5

Поэтому решение уравнения можно искать в виде синусоиды с амплитудой, зависящей от времени:

U_к = U_кm(t)sin₀t

Первая производная напряжения на контуре при этом будет равна:

(1)

Вторая производная соответственно описывается выражением:

(2)

Учитывая медленность изменения амплитуды колебаний, то есть малость значений производной амплитуды по времени, можно отбросить в выражениях (1) и (2) малые порядков выше первого и записать приближенные укороченные уравнения:

Подставляя полученные выражения в исходное уравнение получим равенство:

.

Последнее выражение называется укороченным дифференциальным уравнением. Оно приближенно описывает процессы в автогенераторе с высокодобротным колебательным контуром. Переход к укороченному уравнению значительно упрощает дальнейшие этапы анализа, так как порядок уравнения снижается на единицу.