5.Критерии качества синтезируемых алгоритмов проверки гипотез. Основные алгоритмы принятия решений (Байеса, максимума апостериорной вероятности, максимального правдоподобия, Неймана-Пирсона) (Попов)

Синтез оптимальных алгоритмов проверки гипотез определяется критериями качества. Вид применяемых критериев качества зависит от данных, известных о нашей математической модели. Задачей синтезируемого алгоритма является принятие решения о достоверности гипотезы. Основными видами оптимальных алгоритмов являются Байесовский алгоритм принятия решений, алгоритм максимальной апостериорной вероятности, алгоритм максимального правдоподобия и алгоритм Неймана-Пирсона.

1.Байесовский алгоритм принятия решений.

Этот алгоритм используется, если заданы априорные вероятности P_j гипотез и матрица потерь (штрафов) П с элементами платы за решения γ_k принять гипотезу H_k, если достоверной была гипотеза H_j. При разбиении пространства наблюдений Х на непересекающиеся подпространства по оптимальному байесовскому алгоритму δ_б принятия решений обеспечивается минимальное значение среднего риска (штрафа)

(2.1)

где вероятность ошибочного решения

2. Алгоритм максимальной апостериорной вероятности (мап).

Если априорная матрица потерь П неизвестна, то можно определить апостериорные вероятности гипотез по формуле Байеса (1.2)

. (2.2)

Алгоритм δ_МАП, оптимальный по критерию МАП (идеального наблюдателя), реализует такое разбиение пространства Х, при котором принимается решение γ_k о гипотезе H_k, если эта гипотеза имеет наибольшую апостериорную вероятность

. (2.3)

3.Алгоритм максимального правдоподобия (МП) применяется, если априорные вероятности гипотез и матрица потерь отсутствуют. Оптимальный по критерию МП алгоритм δ_МП реализует такое разбиение пространства Х, при котором принимается решение γ_k о гипотезе H_k,,если функция правдоподобия при гипотезе H_k максимальна

. (2.4)

4.Алгоритм различения гипотез, оптимальный по критерию Неймана-Пирсона (нп).

Алгоритм используется при отсутствии априорных данных о вероятностях гипотез и матрице потерь. Для бинарной задачи проверки гипотезы Н₀ против альтернативы Н₁, для любого из рассмотренных выше алгоритмов принятия решений возможны два ошибочных решения:

ошибка первого рода (уровень значимости)

ошибка второго рода

(2.5)

Вероятность правильных решений

(2.6)

где (1-β)- мощность правила выбора решений.

Оптимальный по критерию НП алгоритм δ_НП реализует такое разбиение пространства Х, при котором достигается минимум ошибки второго рода

(2.7)

при заданном значении ошибки первого рода α ≤ α₀.

Эффективность синтезированного по определенному критерию качества алгоритма проверки гипотез оценивают рабочей характеристикой. Такой характеристикой является вычисленное для синтезированного алгоритма значение этого критерия качества, например, среднего риска, апостериорной вероятности гипотез или вероятность правильного или ошибочного решения.

Для сравнения двух различных алгоритмов проверки гипотез часто используют непараметрический критерий качества -коэффициент относительной эффективности (КОЭ):

КОЭ = n₂/n_1, (6.8)

где n_i–размер выборки x(t) для второго (i=2) и первого (i=1) алгоритмов при равенстве для этих алгоритмов, например, ошибок первого, второго рода. При значении КОЭ>1 эффективнее первый алгоритм.

Далее на примере бинарной задачи проверки гипотез синтезируем одношаговые оптимальные алгоритмы.. Одношаговым называют алгоритм с принятием решения в конце интервала наблюдения Т.