Вопрос 2. Спектральные плотности неинтегрируемых сигналов. Преобразование Лапласа. Связь между преобразованием Фурье и преобразованием Лапласа. (Хазан)

Сигналу U(t) можно сопоставить его спектральную плотность S(ω) в том случае, если этот сигнал абсолютно интегрируем, т.е. существует интеграл

Однако в современной математике разработаны приемы, позволяющие вычислять спектральные плотности неинтегрируемых сигналов. Только в этом случае спектральные плотности являются обобщенными функциями.

Обобщенная формула Релея (важное вспомогательное положение, касающееся спектральных свойств сигналов):

Пусть u(t) и v(t) – два сигнала, которые определены обратным преобразованием Фурье:

, .

Найдем их скалярное произведение, выразив например v(t) через спектральную плотность:

Очевидно, что – спектральная плотность u(t), поэтому – обобщенная формула Релея.

Для того, чтобы найти спектральную плотность неинтегрируемого сигнала u(t), воспользуемся свойством где v(t) – интегрируемый сигнал.

Спектральная плотность постоянного во времени сигнала:

U(t) = A = const – простейший неинтегрируемый сигнал. Пусть v(t) – интегрируемый сигнал, V(t) – его спектральная плотность. Используя получаем:

но

Отсюда приходим к выводу, что , где – дельта-функция.

Получаем, что неизменный во времени сигнал имеет спектральную составляющую только на нулевой частоте.

Спектральная плотность комплексного экспоненциального сигнала:

Пусть – комплексный экспоненциальный сигнал с заданной вещественной частотой ω₀. Этот сигнал не является абсолютно интегрируемым, потому что при функция s(t) не стремится ни к какому пределу.

– преобразование Фурье для данного сигнала.

Отсюда спектральная плотность выражается: .

Отметим следующее:

1) Спектральная плотность комплексного экспоненциального сигнала равна нулю всюду, кроме точки ω = ω₀, где она имеет дельта-особенность.

2) Спектр данного сигнала несимметричен относительно точки ω = 0 и сосредотачивается в области либо положительных, либо отрицательных частот.

Спектральная плотность гармонических колебаний:

П усть По формуле Эйлера

– спектральная плотность косинусоидального сигнала.

Если , то .

Спектральная плотность произвольного периодического сигнала:

.

Спектральная плотность функции включения:

Спектральная функция : .

Дельта-особенность при ω = 0 функция включения имеет постоянную составляющую, равную 1/2.

Спектральная плотность радиоимпульса:

Как известно, радиоимпульс s_p(t) задается в виде произведения некоторого видеоимпульса s_в(t), играющего роль огибающей, и неинтегрируемого гармонического колебания: , – спектральная плотность видеоимпульса.

.

Спектр радиоимпульса есть свертка

Учитывая фильтрующее свойство дельта-функции, получаем:

Переход от видеоимпульса к радиоимпульсу при спектральном подходе означает перенос спектра видеоимпульса в область высоких частот – вместо одного максимума наблюдается два на частотах ω = ±ω₀, абсолютные значения максимумов сокращаются.

Преобразование Лапласа

С помощью преобразования Фурье могут быть только представлены финитные сигналы (с ограниченной мощностью).

С помощью преобразования Лапласа можно анализировать и нефинитные сигналы (начинающиеся в момент времени t = 0).

Если сигнал f(t) – не является финитным (абсолютно интегрируемым), то можно его умножить на экспоненту с отрицательной степенью и получить произведение, которое будет абсолютно интегрируемой функцией.

– не финитный.

– преобразование Лапласа, где F(p) – изображение Лапласа, f(t) – оригинал,

– требования к оригиналу.

При σ = 0 формула переходит в формулу преобразования Фурье .

Если известно F(p), то – обратное преобразование Лапласа.