Вопрос 4. Сигналы с ограниченным спектром. Теорема Котельникова(Хазан)

Если сигнал имеет свойство, что спектральная плотность колебания отлична от нуля лишь в пределах некоторой полосы частот конечной протяженности, то такой сигнал называют сигналом с ограниченным спектром.

Пусть R – конечный отрезок оси частот. Спектральная плотность сигнала с ограниченным спектром удовлетворяет условиям:

– математическая модель сигнала с ограниченным спектром.

Идеальный низкочастотный сигнал (ИНС)

Идеальный низкочастотный сигнал: колебание с постоянной вещественной спектральной плотностью в пределах отрезка оси частот от 0 до верхней граничной частоты _в; вне этого интервала спектральная плотность равна 0.

(1)

Н ачальные фазы спектральных составляющих равны 0. Мгновенные значения такого сигнала

ИНС более общего вида: (3) t0 определяет начальную фазу, фаза линейно зависит от частоты.

Спектральной плотности (3) соответствует низкочастотный сигнал

Если на П-образный фильтр подать дельта-импульс, на выходе будет иметь место sinc-импульс.

Идеальный полосовой сигнал

Пусть спектральная плотность сигнала постоянна в пределах от ω₁ ω₂:

Мгновенное значение ИПС по обратному преобразованию Фурье:

Если на вход полосового фильтра подать дельта-импульс, то импульсная характеристика будет иметь вид sinc-функции с высокочастотным заполнением.

Ортогональные сигналы с ограниченным спектром

Рассмотрим два идеальных низкочастотных сигнала u(t) и v(t). Спектры этих сигналов отличаются начальными фазами

Сигнал запаздывает относительно сигнала на время t₀.

Теорема Релея

Скалярное произведение сигналов равно скалярному произведению спектров, деленному на 2π.

Воспользуемся формулой Релея для определения условия ортогональности для наших сигналов

Если функции ортогональны, то скалярное произведение равно 0. Приравниваем наше равенство к 0, t₀≠0, тогда – условие ортогональности sinc-функции.

Теорема Котельникова (1933 г)

Произвольный сигнал, спектр которого ограничен частотой f_B, может быть полностью восстановлен, если известны его отсчеты, взятые через равные промежутки времени

Доказательство: Т.к. Функции вида являются ортогональными при условии то произведя нормирование этих функций, можно построить базис, который позволит представить любой сигнал в виде обобщенного ряда Фурье:

Если взять то функции будут ортонормированны.

Любой низкочастотный сигнал – обобщенный ряд Фурье.

В ыражение в квадратных скобках – обратное преобразование Фурье для сигнала в моменты времени Таким образом,

Окончательно для ряда Котельникова:

Если сигнал задан на промежутке Тс, то общее количество отсчетов будет равно

В – база сигнала.

5. Аналитический сигнал. Преобразование Гильберта. Понятие комплексной огибающей узкополосного сигнала(Хазан)

Сигнал, спектральная плотность которого отлична от нуля лишь в пределах частотных интервалов (w₁;w₂), образующих окрестности точек  w₀, причем (w₂ - w₁) / w₀ << 1, называют узкополосным.

Преобразование Гильберта.

Если принимается сигнал с неизвестными параметрами, то нельзя строго сказать, что есть огибающая, что – частота, что – фаза, то есть , где – фаза сигнала. Для такого сигнала существует бесконечное множество пар сомножителей A(t) и Ф(t). Для устранения такой неопределенности используется интегральное преобразование Гильберта, при котором вводится комплексный сигнал . В этом комплексном сигнале требуется, чтобы мнимая часть однозначным образом была связана с реальной причем

Такого результата можно добиться с помощью преобразований Гильберта:

– прямое и обратное

Мнимая часть комплексного сигнала является функцией, сопряженной по Гильберту действительной части.

Аналитический сигнал. Комплексная огибающая узкополосного сигнала

Если задан физический сигнал в виде действительной функции a(t), то соответствующий ему комплексный сигнал представляется в форме где a1(t) – функция, сопряженная по Гильберту сигналу a(t).

Определенная таким образом комплексная функция z(t) называется комплексным или аналитическим сигналом, соответствующим физическому сигналу a(t).

Использование аналитического сигнала справедливо только для узкополосного сигнала в линейных цепях.

Аналитический сигнал можно записать следующим образом:

где представляет собой комплексную огибающую узкополосного сигнала. Модуль комплексной огибающей, равный A(t) (поскольку при любом законе изменения θ(t)), содержит информацию только об амплитудной модуляции колебания, а фазовый множитель – только об угловой модуляции. В целом же произведение содержит полную информацию о сигнале a(t), за исключением несущей частоты w₀, которая предполагается известной. Это свойство комплексной огибающей, позволяющее при анализе узкополосных сигналов исключить из рассмотрения частоту w₀, придает важное значение понятию «аналитический сигнал».

Спектральная плотность аналитического сигнала

Спектральная плотность аналитического сигнала отлична от нуля лишь в областях положительных частот:

Для положительных частот спектр аналитического сигнала равен удвоенному значению спектра исходного сигнала, а для отрицательных частот – нулю.