12. Электрические фильтры, классификация по частотным характеристикам. Примеры эквивалентных схем реактивных фильтров. Основные понятия о методах синтеза. (Никонов)

Исходными данными для синтеза, обычно, являются требования к коэффициентам передач мелкой мощности или ослаблению. На рис. 10.1 а, б, в, г и рис. 10.2 а, б, в, г приведены примеры графических требований к модулю коэффициента передачи полной мощности ( ) и ослаблению (а) для фильтра нижних частот (ФНЧ), фильтра верхних частот (ФВЧ), полосового фильтра (ПФ) и режекторного фильтра (РФ), соответственно.

а) ФНЧ б) ФВЧ в) ПФ г) РФ

• ПП, ПЗ - полоса пропускания и полоса задерживания, соответственно;

• f₂ (f_2Н, f_2В) - граничная частота полосы пропускания фильтра;

• f₃ (f_3Н, f_3В) - граничная частота полосы задерживания фильтра;

• f₀ - средняя частота фильтра (для ПФ и РФ);

• К_р - модуль коэффициента передачи полной мощности;

• а – ослабление фильтра в полосе пропускания, (не более);

• а_гар- ослабление фильтра в полосе задерживания, (не менее);

Кроме того, для электрических фильтров приняты обозначения:

• (f_2В - f_2Н) = 2Δf_пп - полоса пропускания;

• (f_3В - f_3Н) = 2Δf_п3 - полоса задерживания;

• f₃ / f₂ = К_пр - коэффициент прямоугольности ФНЧ, ФВЧ;

• 2Δf_п3 / 2Δf_пп = К_пр - коэффициент прямоугольности ПФ, РФ.

В качестве требований при синтезе фильтров также обязательно задаются значения сопротивлений внешних цепей, т.е. сопротивления "генератора" (R_r) и "нагрузки" (R_н).

Эквивалентные схемы без внешних нагрузок простейших "Г - звеньев" реактивных ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ, соответственно, приведены на рис. 10.3 а, б, в, г.

а) ФНЧ б) ФВЧ в) ПФ г) РФ

Синтез фильтров по характеристическим параметрам.

Исходные моменты синтеза:

• фильтр проектируется из одинаковых, согласованных в полосе пропускания друг с другом и с внешними нагрузками, звеньев, например, Г-типа (рис. 10.2);

• так как во всей полосе пропускания фильтр считается согласованным, ослабление в полосе пропускания (Δа) считается равным нулю;

• величины внешних сопротивлений (R_н = R_г = R) для согласованного режима определяются через сопротивления и Г-звена по приближенной формуле

, (10.8)

где , - сопротивления продольной и поперечной ветвей Г-звена

Достоинство данного метода синтеза заключается в его простом алгоритме. Основной недостаток - не учитываются изменения входного и выходного сопротивлений фильтра в полосе пропускания, поэтому характеристики рассчитанного и, затем, реально изготовленного фильтров, отличаются.

Синтез фильтров по рабочим параметрам.

Исходные моменты синтеза:

• учитывается, что входное и выходное сопротивления фильтра изменяются в полосе пропускания;

• фильтр синтезируется в несогласованном режиме, т. е. по рабочим параметрам, что в исходных данных отражается требованием

• обычно при синтезе задаются требования к коэффициенту передачи мощности или ослаблению.

Основные этапы синтеза:

• аппроксимация - замена графических требований к коэффициенту передачи мощности (К_р) аналитическим выражением, например, отношением полиномов по степеням w, что соответствует виду частных характеристик реактивных фильтров;

• переход к операторной форме записи (замена переменной "jw" на переменную "p");

• переход к выражению для входного сопротивления фильтра

• разложение выражения для входного сопротивления на сумму дробей или цепную дробь для получения схемы и значений элементов.

Так как при таком синтезе для аппроксимации широко используются полиномы, подобный синтез принято называть полиномиальным. При синтезе широко применяется нормирование и частотные преобразования.

Вопрос 1. Спектральное представление периодических и непериодических сигналов. Ряды Фурье. Прямое и обратное преобразование Фурье. Соотношение между спектральной плотностью одиночного импульса и спектром периодической последовательности импульсов.(Хазан)

Если какой-либо сигнал представлен суммой гармонических колебаний с различными частотами, то говорят, что осуществлено спектральное разложение этого сигнала. Отдельные гармонические компоненты сигнала образуют его спектр.

Основой спектрального представления периодических сигналов является ряд Фурье для периодической функции U(t).

Имеем Любая периодическая последовательность может быть представлена рядом Фурье:

(1)

Где n – номер гармоники, – нормируем период к радианам, a_n, b_n – коэффициенты ряда Фурье, – постоянная составляющая.

(2)

Итак, в общем случае периодический сигнал содержит независимую от времени постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний, так называемых гармоник с частотами , n = 1,2,3…, кратными основной частоте последовательности

Каждую гармонику можно описать её амплитудой А_n и начальной фазой Для этого коэффициенты ряда Фурье представим следующим образом: , – амплитуда n-ой гармоники (амплитудный спектр), , (фазовый спектр). Подставив эти выражения в (1), получаем:

(3)

Графически спектр сигнала можно представить следующим образом. По оси абсцисс будем откладывать частоты гармонических составляющих сигнала, по оси ординат – величины амплитуд этих гармоник. Для полной характеристики спектра добавляют начальную фазу каждой гармоники. Получаем АЧХ и ФЧХ.

АЧХ ФЧХ

Комплексная форма ряда Фурье

, , . Воспользуемся формулой (3):

, . Учитывая что (формула Эйлера), получаем: – комплексная форма ряда Фурье.

– комплексные коэффициенты ряда Фурье.

Рассмотрим спектральное разложение непериодических сигналов, на примере одиночного импульса

Получим периодическую последовательность, которая может быть представлена в виде комплексного ряда Фурье:

(4)

Для того, чтобы вернуться к одиночному импульсу, устремим его период к . Тогда:

1) Частоты соседних гармоник и окажутся сколь угодно близкими, так что в формулах дискретную переменную можно заменять непрерывной переменной ω – текущей частотой;

2) Коэффициенты С_n станут неограниченно малыми.

Задача сводится к нахождению предельного вида формулы (4) при .

Прямое преобразование Фурье

– спектральная плотность. Спектральная плотность описывается прямым преобразованием Фурье:

– прямое преобразование Фурье.

– обратное преобразование Фурье.

По спектральной плотности (заданной) находим сигнал.

Соотношение между спектральной плотностью одиночного импульса и спектром периодической последовательности

Коэффициент n-ой гармоники равен

Спектральная плотность одиночного импульса на той же частоте будет:

.

Спектральная плотность отличается от коэффициента С_n ряда Фурье отсутствием множителя 1/Т. Поэтому комплексная амплитуда n-ой гармоники равна

Модуль спектральной плотности одиночного импульса и огибающая линейчатого спектра периодической последовательности, полученной путем повторения заданного импульса, совпадают по форме и отличаются только масштабом.

С увеличением Т спектральные линии сближаются и коэффициент C_n уменьшается.

Таким образом, спектральная плотность есть амплитуда напряжения/тока, приходящаяся на 1 Гц в бесконечно узкой полосе частот, которая включает в себя рассматриваемую частоту ω.