- •Теория вероятностей Введение в теорию вероятностей Предмет теории вероятностей
- •Возникновение и развитие теории вероятностей До появления аксиоматики Колмогорова
- •В наше время
- •Необходимость теории вероятностей как науки
- •Возможность анализа случайных явлений
- •Расчет шансов и прогнозирование последствий
- •Примеры практических задач, при решении которых применяется теория вероятностей
- •Игра по крупному
- •Основные понятия и определения Первичные понятия Опыт (эксперимент)
- •Элементарный исход
- •Пространство элементарных исходов
- •Советы по построению пространства элементарных исходов.
- •Определения Подмножества
- •Операции над подмножествами
- •Случайные события
- •Информационный смысл понятия сигма - алгебра
- •Пересечение сигма-алгебр
- •Вероятностное пространство
- •Парадокс определения вероятностного пространства
- •Независимые события
- •Теорема (о непрерывности вероятностной меры)
- •Дискретная вероятностная модель
- •Конечное пространство элементарных исходов
- •Классическая вероятностная модель
- •Связь классической вероятностной модели с комбинаторикой
- •Основная формула комбинаторики
- •Факториал
- •Урновая схема
- •Общее определение вероятности для экспериментов с конечным или счетным числом исходов
- •Дискретное распределение и вероятность
- •Равномерное распределение - классическая вероятностная модель
- •Биномиальное распределение – схема Бернулли
- •Мультиномиальное распределение – схема бросания частиц по ячейкам
- •Геометрическое распределение – испытания до первого успеха
- •Распределение Паскаля – испытания до m-того успеха
- •Пуассоновское распределение - теорема Пуассона
- •Теорема Пуассона.
- •Сходимость по вариации - приближение одних моделей другими
- •Использование понятия независимости для построения моделей. Произведение вероятностных пространств.
- •Примеры построения моделей.
- •Расчет надежности при параллельном соединении элементов.
- •Расчет надежности при последовательном соединении элементов
- •Расчет надежности сложной системы.
- •Замечания к примерам.
- •Условная вероятность
- •Урновая схема
- •Марковская зависимость
- •Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Случайные величины
- •Отображения вероятностных пространств
- •Случайная величина
- •Борелевская сигма-алгебра
- •Свойства случайных величин
- •Случайный вектор
- •Распределения случайных величин и векторов
- •Точки непрерывности и разрыва функции распределения
- •Несобственные функции распределения
- •Геометрическое распределение
- •Мера Лебега на прямой.
- •Плотность распределения
- •Вероятностный смысл плотности распределения
- •Бета-распределение на отрезке [0,1]
- •Смеси распределений.
- •Нормальное (гауссовское) распределение.
- •Экспоненциальное (показательное) распределение.
- •Гамма-распределение.
- •Построение меры в конечномерном пространстве Борелевская сигма-алгебра в конечномерном пространстве
- •Определение случайного вектора
- •Мера Лебега в конечномерном пространстве
- •Мера Лебега на квадрате - Задача о встрече
- •Независимые случайные величины
- •Многомерное нормальное распределение
- •Числовые характеристики случайных величин и векторов
- •Интеграл Лебега – математическое ожидание
- •Свойства интеграла Лебега (математического ожидания)
- •Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега
- •Теорема Лебега о мажорируемой сходимости
- •Неравенства Неравенство Маркова
- •Неравенство Чебышева. Дисперсия
- •Неравенство Коши-Буняковского-Шварца. Ковариация
- •Неравенство Йенсена.Выпуклые функции
- •Неравенство Ляпунова.Моменты
- •Вычисление математического ожидания.
- •Теорема Лебега о замене переменных
- •Вычисление интеграла Лебега на прямой.
- •Вычисление интеграла Лебега в произведении пространств. Теорема Фубини
- •Теорема Фубини
- •Вычисление маргинальных плотностей
- •Вычисление числовых характеристик важных распределений.
- •Абсолютная непрерывность вероятностных мер
- •Абсолютно непрерывные и сингулярные меры и распределения
- •Теорема Радона-Никодима
- •Суммирование независимых случайных величин
- •Сходимость последовательностей случайных величин и их распределений
- •Сходимость по вероятности
- •Сходимость в среднеквадратическом
- •Слабая сходимость распределений
- •Взаимосвязь различных видов сходимости
- •Закон больших чисел в форме Бернулли
- •Теорема Шеффе
- •Преобразование Лапласа и производящая функция
- •Теорема единственности для характеристических функций и характеристические функции важных распределений
- •Предельные теоремы теории вероятностей
- •Классическая схема
- •Закон больших чисел в форме Чебышева
- •Закон больших чисел для схемы серий
- •Закон больших чисел в форме Хинчина
- •Центральная предельная теорема в форме Леви Теорема Леви
- •Теорема Муавра-Лапласа
- •Центральная предельная теорема в форме Ляпунова
- •Условное математическое ожидание, условная вероятность и условное распределение
- •Определение и основные свойства условного математического ожидания
- •Теорема существования и единственности условного математического ожидания
- •Математическое ожидание одной случайной величины относительно другой
- •Свойства условного математического ожидания
- •Определение условной вероятности, условного распределения и условной плотности Условная вероятность
- •Условное распределение
- •Вычисление условной плотности и условного математического ожидания
Игра по крупному
Если у Вас всего 1000$, то играть в игру, ставка в которой 1000$, не стоит даже, если шансы выиграть равны 60%. Если у Вас в кармане миллион, то играть в такую игру Вам чем чаще, тем выгодней.
Основные понятия и определения Первичные понятия Опыт (эксперимент)
Одним из важнейших этапов в построении математической модели случайного объекта или процесса является его описание в первичных терминах. В теории вероятностей принято называть это описание описанием опыта или эксперимента. Основным в этом описании является определение элементарного исхода опыта. Главная трудность при построении математической модели состоит в том, что одному случайному явлению можно сопоставить бесчисленное множество разных описаний в виде опыта и, соответственно, разных вариантов элементарных исходов.
Элементарный исход
Элементарный исход является первичным понятием, и пояснить его можно только на примере. Элементарный исход является мельчайшей неделимой единицей описания опыта, мельчайшим случайным событием. Предполагается, что у одного опыта одновременно не может произойти два разных элементарных исхода. Например,
1. Опыт: бросание монеты
Элементарные исходы: герб, решка – всего два различных исхода
2. Опыт: бросание игральной кости
Элементарные исходы, 1 вариант: число очков на верхней грани –6 исходов
Элементарные исходы, 2 вариант: выпала четная или нечетная грань –2 исхода
3.Опыт: бросание двух игральных костей
3.1 Элементарные исходы, 1 вариант: выпало в сумме 6 очков или не выпало –2 исхода
3.2 Элементарные исходы, 2 вариант: выпало в сумме 7 очков или не выпало –2 исхода
3.3 Элементарные исходы, 3 вариант: сумма выпавших очков – 11 исходов
3.4 Элементарные исходы, 4 вариант: числа очков на костях без различения игральных костей [{1,1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,2},{2,3},{2,4},{2,5},{2,6}, {3,3}…] – 21 исход
3.5 Элементарные исходы, 5 вариант: числа очков на костях c различением игральных костей [(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),…] –36 исходов
Пространство элементарных исходов
Мощность множества измеряется не в лошадиных силах, а в кардинальных числах. Бывают множества с конечной, счетной, континуум мощностью и даже больше. Если элементы множества можно пересчитать, но оно не конечное, то оно счетное. |
Множество элементарных исходов опыта в теории вероятностей называется пространством элементарных исходов. Элементарные исходы являются элементами (точками) этого множества. В предыдущих примерах видно, что одному реальному опыту можно сопоставить несколько описаний пространства элементарных исходов. Таким образом, для описания экспериментов в качестве первичных математических понятий используются множества. В своей общей части теория вероятностей не использует никаких специфических свойств элементарных исходов и множеств, кроме числа элементов в них или их мощности. Поэтому любые два пространства элементарных исходов с одинаковым числом элементов или одинаковой мощностью с точки зрения теории вероятностей эквивалентны. Например, в опыте с бросанием монеты мы можем выбрать в качестве исходов слова "герб" и "решка" или числа "0" и "1". Обозначается пространство элементарных исходов обычно так:
а сам элементарный исход так
Можно записать отношение между пространством элементарных исходов и элементарными исходами так
|