Условное распределение

Пусть и - случайные векторы произвольной конечной размерности (например, k и s ) заданные на некотороми вероятностном пространстве

Функция называется условным распределением случайной величины при условии , если

1. При каждом условная вероятность

2. При каждом функция является распределением

Замечательным является тот факт, что для любых случайных векторов условное распределение существует. Доказательство этого утверждения и более общие условия существования условного распределения можно найти, например, в книге Ширяева. Для условного распределения часто используют следующее обозначение:

Если условное распределение при каждом имеет плотность относительно некоторой меры , то эта плотность называется условной плотностью распределения случайной величины при условии и обозначается

Обозначив распределение случайной величины , используя свойства 8) и 9) условного математического ожидания получим, что для любых борелевских подмножеств

Наоборот, если функция удовлетворяет соотношению

то она, очевидно, является условной плотностью.

Если распределение имеет плотность относительно меры , то

Данное соотношение означает, что функция

является совместной плотностью вектора относительно произведения мер

Вычисление условной плотности и условного математического ожидания

Теорема.

Если у вектора существует совместная плотность распределения относительно произведения мер , то функция

где

является условной плотностью распределения случайной величины при условии

Доказательство.

Так как

, то является плотностью распределения случайной величины . Очевидно, также что

удовлетворяет условию

_,

эквивалентному определению условной плотности.

Доказательство завершено.

Через условную плотность легко выразить условное математическое ожидание

Теорема.

Пусть - борелевская функция из в , тогда

Доказательство.

Если ,то теорема , очевидно, верна. Следовательно она верна для простых функций. Далее используем предельный переход под знаком интеграла Лебега.

Доказательство завершено.

Приведем пример вычисления условной плотности и условного математического ожидания.

Пример.

Пусть распределение вектора является двумерным нормальным распределением

Тогда одномерная плотность равна

и условная плотность

Замечая, что данная плотность является плотностью нормального рfспределения с математическим ожиданием

получаем, что