![](/user_photo/1409_eZHEC.jpg)
- •Теория вероятностей Введение в теорию вероятностей Предмет теории вероятностей
- •Возникновение и развитие теории вероятностей До появления аксиоматики Колмогорова
- •В наше время
- •Необходимость теории вероятностей как науки
- •Возможность анализа случайных явлений
- •Расчет шансов и прогнозирование последствий
- •Примеры практических задач, при решении которых применяется теория вероятностей
- •Игра по крупному
- •Основные понятия и определения Первичные понятия Опыт (эксперимент)
- •Элементарный исход
- •Пространство элементарных исходов
- •Советы по построению пространства элементарных исходов.
- •Определения Подмножества
- •Операции над подмножествами
- •Случайные события
- •Информационный смысл понятия сигма - алгебра
- •Пересечение сигма-алгебр
- •Вероятностное пространство
- •Парадокс определения вероятностного пространства
- •Независимые события
- •Теорема (о непрерывности вероятностной меры)
- •Дискретная вероятностная модель
- •Конечное пространство элементарных исходов
- •Классическая вероятностная модель
- •Связь классической вероятностной модели с комбинаторикой
- •Основная формула комбинаторики
- •Факториал
- •Урновая схема
- •Общее определение вероятности для экспериментов с конечным или счетным числом исходов
- •Дискретное распределение и вероятность
- •Равномерное распределение - классическая вероятностная модель
- •Биномиальное распределение – схема Бернулли
- •Мультиномиальное распределение – схема бросания частиц по ячейкам
- •Геометрическое распределение – испытания до первого успеха
- •Распределение Паскаля – испытания до m-того успеха
- •Пуассоновское распределение - теорема Пуассона
- •Теорема Пуассона.
- •Сходимость по вариации - приближение одних моделей другими
- •Использование понятия независимости для построения моделей. Произведение вероятностных пространств.
- •Примеры построения моделей.
- •Расчет надежности при параллельном соединении элементов.
- •Расчет надежности при последовательном соединении элементов
- •Расчет надежности сложной системы.
- •Замечания к примерам.
- •Условная вероятность
- •Урновая схема
- •Марковская зависимость
- •Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Случайные величины
- •Отображения вероятностных пространств
- •Случайная величина
- •Борелевская сигма-алгебра
- •Свойства случайных величин
- •Случайный вектор
- •Распределения случайных величин и векторов
- •Точки непрерывности и разрыва функции распределения
- •Несобственные функции распределения
- •Геометрическое распределение
- •Мера Лебега на прямой.
- •Плотность распределения
- •Вероятностный смысл плотности распределения
- •Бета-распределение на отрезке [0,1]
- •Смеси распределений.
- •Нормальное (гауссовское) распределение.
- •Экспоненциальное (показательное) распределение.
- •Гамма-распределение.
- •Построение меры в конечномерном пространстве Борелевская сигма-алгебра в конечномерном пространстве
- •Определение случайного вектора
- •Мера Лебега в конечномерном пространстве
- •Мера Лебега на квадрате - Задача о встрече
- •Независимые случайные величины
- •Многомерное нормальное распределение
- •Числовые характеристики случайных величин и векторов
- •Интеграл Лебега – математическое ожидание
- •Свойства интеграла Лебега (математического ожидания)
- •Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега
- •Теорема Лебега о мажорируемой сходимости
- •Неравенства Неравенство Маркова
- •Неравенство Чебышева. Дисперсия
- •Неравенство Коши-Буняковского-Шварца. Ковариация
- •Неравенство Йенсена.Выпуклые функции
- •Неравенство Ляпунова.Моменты
- •Вычисление математического ожидания.
- •Теорема Лебега о замене переменных
- •Вычисление интеграла Лебега на прямой.
- •Вычисление интеграла Лебега в произведении пространств. Теорема Фубини
- •Теорема Фубини
- •Вычисление маргинальных плотностей
- •Вычисление числовых характеристик важных распределений.
- •Абсолютная непрерывность вероятностных мер
- •Абсолютно непрерывные и сингулярные меры и распределения
- •Теорема Радона-Никодима
- •Суммирование независимых случайных величин
- •Сходимость последовательностей случайных величин и их распределений
- •Сходимость по вероятности
- •Сходимость в среднеквадратическом
- •Слабая сходимость распределений
- •Взаимосвязь различных видов сходимости
- •Закон больших чисел в форме Бернулли
- •Теорема Шеффе
- •Преобразование Лапласа и производящая функция
- •Теорема единственности для характеристических функций и характеристические функции важных распределений
- •Предельные теоремы теории вероятностей
- •Классическая схема
- •Закон больших чисел в форме Чебышева
- •Закон больших чисел для схемы серий
- •Закон больших чисел в форме Хинчина
- •Центральная предельная теорема в форме Леви Теорема Леви
- •Теорема Муавра-Лапласа
- •Центральная предельная теорема в форме Ляпунова
- •Условное математическое ожидание, условная вероятность и условное распределение
- •Определение и основные свойства условного математического ожидания
- •Теорема существования и единственности условного математического ожидания
- •Математическое ожидание одной случайной величины относительно другой
- •Свойства условного математического ожидания
- •Определение условной вероятности, условного распределения и условной плотности Условная вероятность
- •Условное распределение
- •Вычисление условной плотности и условного математического ожидания
Условная вероятность
Часто случайные компоненты в опыте и соответственно координаты элементарного исхода являются зависимыми. В этом случае для определения распределения используют понятие условной вероятности.
Урновая схема
Рассмотрим, например, эксперимент, описывающий выбор двух шаров из урны, содержащей 20 черных и 10 белых шаров, без возвращения. Элементарным исходом будет вектор
из нулей и единиц (1 – черный шар, 0 - белый), где первая координата описывает цвет второго извлеченного шара, а вторая цвет первого извлеченного шара.
Как задать вероятность элементарного исхода?
Ясно, что событие «На первом шаге вынут черный шар» должно иметь вероятность
Ясно также, что если бы мы знали цвет извлеченного на первом шаге шара, то точно также могли бы определить вероятность извлечения черного шара на втором шаге. Именно, если первый шар белый, то (при этом условии) вероятность извлечь черный шар на втором шаге равна
Если первый шар черный, то
Тогда естественно определить вероятность исхода (1,1) так чтобы выполнялась формула условной вероятности
т.е.
и
Аналогично определяются вероятности остальных элементарных исходов
Теперь нетрудно, например, вычислить вероятность того, что второй извлеченный шар будет черным. Она равна
Покажите, что нас самом деле вероятность вытащить черный шар одинакова не только для первого и второго, но и для любого другого шага выбора (пока она не станет равной, естественно, нулю – когда кончатся черные шары) |
Заметим, что данный результат в применении к задаче о студенте на экзамене означает, что студенту все равно каким идти – первым или вторым. |
Марковская зависимость
Легко распространить изложенное выше на случай элементарного исхода с n целочисленными координатами.
Особенно просто записывается вероятность элементарного исхода когда имеет место марковская зависимостькоординат, т.е. когда распределение следующей координаты зависит только от значения предыдущей координаты
В этом
случае последовательные переходы от
координаты
к координате
и т.д. называются шагами ,а вероятности
называются переходными вероятностями (за один шаг).
Если
каждая координата вектора
принимает значения в одном и том же
конечном множестве
(множестве состояний) и переходные
вероятности не зависят отn, то
последовательность
называетсяконечной цепью Маркова.
В этом случае вероятность элементарного
исхода можно записать так
где
- количество переходов из состояния iв состояние j
Подробно марковские зависимости исследуются в теории случайных процессов.
Формула полной вероятности и формула Байеса
Часто при решении простых задач теории вероятностей формально не вводят вероятностное пространство, а сразу выделяют полную группу случайных событий (условий), вероятности которых легко определить из условий задачи и вероятность интересующего события находят по формуле полной вероятности
Например, рассмотрим следующую задачу.
В ящике содержатся детали, поступившие с трех разных заводов.
Доля брака среди деталей первого завода – 0,1, второго - 0,2, третьего - 0,4.
Количество деталей первого завода в ящике - 20, второго –30, третьего – 50. Найти вероятность того, что наудачу выбранная из ящика деталь окажется бракованной (событие A).
Решение. При формальном определении, в качестве элементарного исхода следует взять вектор с двумя координатами. Первая указывет номер завода, с которого поступила наудачу выбранная деталь, вторая - бракована эта деталь или нет. Далее действуя в духе предыдущего пункта легко определить вероятности всех элементарных исходов и соответственно, вероятность любого события A по формуле
С другой стороны обозначив B1,B2, B3 – события, заключающиеся в том, что деталь поступила, соотвественно, с первого, второго, третьего завода, и применив формулу полной вероятности, получим
Различие в двух подходах к решению данной задачи состоит в том , что в первом случае полностью определяется вероятностное пространство и можно найти вероятность любого события по одной и той же формуле, во втором модель полностью не строится и мы (по-существу) определяем вероятности только тех элементарных исходов, которые входят в интересующее нас событие.
С формулой полной вероятности тесно связана формула Байеса.
Она позволяет найти, как, иногда, говорят инженеры, обратные вероятности, т. е. вероятности событий полной группы при условии, что произошло событие A.
Например, пусть в условиях предыдущей задачи известо, что из ящика извлечена бракованная деталь и требуется найти вероятность того, что она выпущена вторым заводом. Тогда по формуле Байеса имеем
Заметим, однако принципиальную разницу этих формул. Формула полной вероятности является просто следствием свойства счетной аддитивности вероятности и ее применение часто означает, что мы неявно строим вероятностное пространство. Формула Байеса действительно расчетная – для ее применения требуется , чтобы вероятностное пространство уже было определено.