- •Теория вероятностей Введение в теорию вероятностей Предмет теории вероятностей
- •Возникновение и развитие теории вероятностей До появления аксиоматики Колмогорова
- •В наше время
- •Необходимость теории вероятностей как науки
- •Возможность анализа случайных явлений
- •Расчет шансов и прогнозирование последствий
- •Примеры практических задач, при решении которых применяется теория вероятностей
- •Игра по крупному
- •Основные понятия и определения Первичные понятия Опыт (эксперимент)
- •Элементарный исход
- •Пространство элементарных исходов
- •Советы по построению пространства элементарных исходов.
- •Определения Подмножества
- •Операции над подмножествами
- •Случайные события
- •Информационный смысл понятия сигма - алгебра
- •Пересечение сигма-алгебр
- •Вероятностное пространство
- •Парадокс определения вероятностного пространства
- •Независимые события
- •Теорема (о непрерывности вероятностной меры)
- •Дискретная вероятностная модель
- •Конечное пространство элементарных исходов
- •Классическая вероятностная модель
- •Связь классической вероятностной модели с комбинаторикой
- •Основная формула комбинаторики
- •Факториал
- •Урновая схема
- •Общее определение вероятности для экспериментов с конечным или счетным числом исходов
- •Дискретное распределение и вероятность
- •Равномерное распределение - классическая вероятностная модель
- •Биномиальное распределение – схема Бернулли
- •Мультиномиальное распределение – схема бросания частиц по ячейкам
- •Геометрическое распределение – испытания до первого успеха
- •Распределение Паскаля – испытания до m-того успеха
- •Пуассоновское распределение - теорема Пуассона
- •Теорема Пуассона.
- •Сходимость по вариации - приближение одних моделей другими
- •Использование понятия независимости для построения моделей. Произведение вероятностных пространств.
- •Примеры построения моделей.
- •Расчет надежности при параллельном соединении элементов.
- •Расчет надежности при последовательном соединении элементов
- •Расчет надежности сложной системы.
- •Замечания к примерам.
- •Условная вероятность
- •Урновая схема
- •Марковская зависимость
- •Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Случайные величины
- •Отображения вероятностных пространств
- •Случайная величина
- •Борелевская сигма-алгебра
- •Свойства случайных величин
- •Случайный вектор
- •Распределения случайных величин и векторов
- •Точки непрерывности и разрыва функции распределения
- •Несобственные функции распределения
- •Геометрическое распределение
- •Мера Лебега на прямой.
- •Плотность распределения
- •Вероятностный смысл плотности распределения
- •Бета-распределение на отрезке [0,1]
- •Смеси распределений.
- •Нормальное (гауссовское) распределение.
- •Экспоненциальное (показательное) распределение.
- •Гамма-распределение.
- •Построение меры в конечномерном пространстве Борелевская сигма-алгебра в конечномерном пространстве
- •Определение случайного вектора
- •Мера Лебега в конечномерном пространстве
- •Мера Лебега на квадрате - Задача о встрече
- •Независимые случайные величины
- •Многомерное нормальное распределение
- •Числовые характеристики случайных величин и векторов
- •Интеграл Лебега – математическое ожидание
- •Свойства интеграла Лебега (математического ожидания)
- •Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега
- •Теорема Лебега о мажорируемой сходимости
- •Неравенства Неравенство Маркова
- •Неравенство Чебышева. Дисперсия
- •Неравенство Коши-Буняковского-Шварца. Ковариация
- •Неравенство Йенсена.Выпуклые функции
- •Неравенство Ляпунова.Моменты
- •Вычисление математического ожидания.
- •Теорема Лебега о замене переменных
- •Вычисление интеграла Лебега на прямой.
- •Вычисление интеграла Лебега в произведении пространств. Теорема Фубини
- •Теорема Фубини
- •Вычисление маргинальных плотностей
- •Вычисление числовых характеристик важных распределений.
- •Абсолютная непрерывность вероятностных мер
- •Абсолютно непрерывные и сингулярные меры и распределения
- •Теорема Радона-Никодима
- •Суммирование независимых случайных величин
- •Сходимость последовательностей случайных величин и их распределений
- •Сходимость по вероятности
- •Сходимость в среднеквадратическом
- •Слабая сходимость распределений
- •Взаимосвязь различных видов сходимости
- •Закон больших чисел в форме Бернулли
- •Теорема Шеффе
- •Преобразование Лапласа и производящая функция
- •Теорема единственности для характеристических функций и характеристические функции важных распределений
- •Предельные теоремы теории вероятностей
- •Классическая схема
- •Закон больших чисел в форме Чебышева
- •Закон больших чисел для схемы серий
- •Закон больших чисел в форме Хинчина
- •Центральная предельная теорема в форме Леви Теорема Леви
- •Теорема Муавра-Лапласа
- •Центральная предельная теорема в форме Ляпунова
- •Условное математическое ожидание, условная вероятность и условное распределение
- •Определение и основные свойства условного математического ожидания
- •Теорема существования и единственности условного математического ожидания
- •Математическое ожидание одной случайной величины относительно другой
- •Свойства условного математического ожидания
- •Определение условной вероятности, условного распределения и условной плотности Условная вероятность
- •Условное распределение
- •Вычисление условной плотности и условного математического ожидания
Пуассоновское распределение - теорема Пуассона
Пусть
некоторый параметр.
Распределение на пространстве неотрицательных целых чисел называется пуассоновское распределение (распределение Пуассона), если
Распределение Пуассона является предельным случаем биномиального распределения при специальном поведении параметров (n,p) биномиального распределения Это будет показано в дальнейшем. Заметим, что биномиальное распределение можно рассматривать как распределение на пространстве неотрицательных целых чисел, положив
Определим на сигма-алгебре всех подмножеств неотрицательных целых чисел две вероятности P и Pn ,, соответствующие пуассоновскому и биномиальному распределениям :
Теорема Пуассона.
Пусть параметры биномиального распределения изменяются следующим образом
Тогда
т.е. биномиальная вероятность равномерно по всем случайным событиям стремится к пуассоновской вероятности.
Доказательство.
Докажем вначале, что в условиях теоремы для любого фиксированного k
Действительно, сгруппировав множители входящие в pk,n следующим образом
получим
Покажем теперь, что из сходимости
следует
сходимость
Действительно, определив множество A* следующим образом
получим
Далее, так как на множестве A*
для любого N получаем
Выбрав N достаточно большим, можно сделать вторую сумму сколь угодно малой, первую сумму после этого можно сделать также сколь угодно малой выбрав достаточно большое n.
Доказательство завершено.
При больших k рассчитать пуассоновскую вероятность гораздо легче, биномиальную. Пуассоновское распределение используется для приближения биномиального распределения в тех случаях, когда количество испытаний в схеме Бернулли велико, а вероятность успеха мала.
Сходимость по вариации - приближение одних моделей другими
Предположим задано некоторое пространство элементарных исходов и сигма-алгебра событий.
Определив на сигма-алгебре две вероятности P и Q,, получим два вероятностных пространства и соответственно две математические модели описывающие один и тот же эксперимент. Естественно считать эти модели совпадающими, если они дают одинаковые вероятности для всех случайных событий
Две модели естественно считать близкими (приближающими друг друга) если этот супремум достаточно мал.
Дадим следующее определение.
Сходимость по вариации.
Последовательность вероятностей (вероятностных мер или их распределений) Pnсходится к вероятности (распределению) P по вариации, если
В предыдущем пункте мы доказали сходимость по вариации биномиальной вероятности к пуассоновской (в некоторых условиях).
Измеримое пространство.
В предыдущем пункте мы определили две различные вероятности на одной и той же сигма-алгебре событий. В дальнейшем нам придется делать это неодократно. Для удобства дадим следующее определение.
Измеримое пространство – это пара
Независимость событий и условная вероятность. Построение моделей.
При построении дискретных вероятностных моделей достаточно определить распределение на множестве элементарных исходов. Для того, чтобы определить вероятяность элементарного исхода часто используют понятие независимости и понятие условной вероятности.
Независимость
Различие между независимостью попарно и в совокупности. Пример Бернштейна
Данный пример показывает, что существуют попарно независимые события , которые не являются независимыми в совокупности.
Рассмотрим тетраэдр, грани которого покрашены в три цвета следующим образом:
1 грань – синяя
2 грань – зеленая
3 грань – желтая
4 грань разделена на три сектора – синий, зеленый и желтый.
Опыт состоит в бросании тетраэдра и наблюдении цвета выпавшей (нижней) грани.
Обозначим события
A– на грани есть синий цвет
B– на грани есть зеленый цвет
C– на грани есть желтый цвет
Тогда, используя симетричность тетраэдра и классическую вероятностную модель получим:
Для исключения неоднозначности при интерпретации понятия независимости в теории вероятностей при построении моделей используется, в основном, независимость в совокупности, как более сильная. В дальнейшем говоря о независимости мы, если не указано противное, будем подразумевать независимость в совокупности.