- •Теория вероятностей Введение в теорию вероятностей Предмет теории вероятностей
- •Возникновение и развитие теории вероятностей До появления аксиоматики Колмогорова
- •В наше время
- •Необходимость теории вероятностей как науки
- •Возможность анализа случайных явлений
- •Расчет шансов и прогнозирование последствий
- •Примеры практических задач, при решении которых применяется теория вероятностей
- •Игра по крупному
- •Основные понятия и определения Первичные понятия Опыт (эксперимент)
- •Элементарный исход
- •Пространство элементарных исходов
- •Советы по построению пространства элементарных исходов.
- •Определения Подмножества
- •Операции над подмножествами
- •Случайные события
- •Информационный смысл понятия сигма - алгебра
- •Пересечение сигма-алгебр
- •Вероятностное пространство
- •Парадокс определения вероятностного пространства
- •Независимые события
- •Теорема (о непрерывности вероятностной меры)
- •Дискретная вероятностная модель
- •Конечное пространство элементарных исходов
- •Классическая вероятностная модель
- •Связь классической вероятностной модели с комбинаторикой
- •Основная формула комбинаторики
- •Факториал
- •Урновая схема
- •Общее определение вероятности для экспериментов с конечным или счетным числом исходов
- •Дискретное распределение и вероятность
- •Равномерное распределение - классическая вероятностная модель
- •Биномиальное распределение – схема Бернулли
- •Мультиномиальное распределение – схема бросания частиц по ячейкам
- •Геометрическое распределение – испытания до первого успеха
- •Распределение Паскаля – испытания до m-того успеха
- •Пуассоновское распределение - теорема Пуассона
- •Теорема Пуассона.
- •Сходимость по вариации - приближение одних моделей другими
- •Использование понятия независимости для построения моделей. Произведение вероятностных пространств.
- •Примеры построения моделей.
- •Расчет надежности при параллельном соединении элементов.
- •Расчет надежности при последовательном соединении элементов
- •Расчет надежности сложной системы.
- •Замечания к примерам.
- •Условная вероятность
- •Урновая схема
- •Марковская зависимость
- •Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Случайные величины
- •Отображения вероятностных пространств
- •Случайная величина
- •Борелевская сигма-алгебра
- •Свойства случайных величин
- •Случайный вектор
- •Распределения случайных величин и векторов
- •Точки непрерывности и разрыва функции распределения
- •Несобственные функции распределения
- •Геометрическое распределение
- •Мера Лебега на прямой.
- •Плотность распределения
- •Вероятностный смысл плотности распределения
- •Бета-распределение на отрезке [0,1]
- •Смеси распределений.
- •Нормальное (гауссовское) распределение.
- •Экспоненциальное (показательное) распределение.
- •Гамма-распределение.
- •Построение меры в конечномерном пространстве Борелевская сигма-алгебра в конечномерном пространстве
- •Определение случайного вектора
- •Мера Лебега в конечномерном пространстве
- •Мера Лебега на квадрате - Задача о встрече
- •Независимые случайные величины
- •Многомерное нормальное распределение
- •Числовые характеристики случайных величин и векторов
- •Интеграл Лебега – математическое ожидание
- •Свойства интеграла Лебега (математического ожидания)
- •Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега
- •Теорема Лебега о мажорируемой сходимости
- •Неравенства Неравенство Маркова
- •Неравенство Чебышева. Дисперсия
- •Неравенство Коши-Буняковского-Шварца. Ковариация
- •Неравенство Йенсена.Выпуклые функции
- •Неравенство Ляпунова.Моменты
- •Вычисление математического ожидания.
- •Теорема Лебега о замене переменных
- •Вычисление интеграла Лебега на прямой.
- •Вычисление интеграла Лебега в произведении пространств. Теорема Фубини
- •Теорема Фубини
- •Вычисление маргинальных плотностей
- •Вычисление числовых характеристик важных распределений.
- •Абсолютная непрерывность вероятностных мер
- •Абсолютно непрерывные и сингулярные меры и распределения
- •Теорема Радона-Никодима
- •Суммирование независимых случайных величин
- •Сходимость последовательностей случайных величин и их распределений
- •Сходимость по вероятности
- •Сходимость в среднеквадратическом
- •Слабая сходимость распределений
- •Взаимосвязь различных видов сходимости
- •Закон больших чисел в форме Бернулли
- •Теорема Шеффе
- •Преобразование Лапласа и производящая функция
- •Теорема единственности для характеристических функций и характеристические функции важных распределений
- •Предельные теоремы теории вероятностей
- •Классическая схема
- •Закон больших чисел в форме Чебышева
- •Закон больших чисел для схемы серий
- •Закон больших чисел в форме Хинчина
- •Центральная предельная теорема в форме Леви Теорема Леви
- •Теорема Муавра-Лапласа
- •Центральная предельная теорема в форме Ляпунова
- •Условное математическое ожидание, условная вероятность и условное распределение
- •Определение и основные свойства условного математического ожидания
- •Теорема существования и единственности условного математического ожидания
- •Математическое ожидание одной случайной величины относительно другой
- •Свойства условного математического ожидания
- •Определение условной вероятности, условного распределения и условной плотности Условная вероятность
- •Условное распределение
- •Вычисление условной плотности и условного математического ожидания
Смеси распределений.
Пусть
конечный или счетный набор распределений на одном и том же измеримом пространстве и
дискретное распределение, т.е.
Тогда функция
так же будет распределением, которое называется смесь распределений
Числа
называются коэффициентами смеси.
Ситуацию, в которой возникает смесь распределений, можно представить себе, например, так. Случайно, в соответствии с распределением
выбирается одна из вероятностей
а затем проводится эксперимент в соответствии с выбранной вероятностью.
При смешивании распределений, очевидно, аналогичным образом смешиваются их функции распределения и (если существуют) плотности. Смешаем два бета-распределения B(2,6) и B(6,2) с коэффициентами 1/2. График плотности получившегося распределения приведен на рисунке
Данную плотность можно использовать для моделирования стрельбы по одной мишени двух стрелков, один из которых целится в точку
а другой – в точку
Смешивая различные бета-распределения, можно моделировать различые способы выбора случайной точки на отрезке. На следующем рисунке приведен график плотности смеси пяти бета-распределений.
Нормальное (гауссовское) распределение.
Рассмотрим положительную функцию
Докажите это, переходя к полярным координатам в интеграле , который , очевидно, равен квадрату исходного. |
Так как
то функция |
является плотностью и задает так называемое стандартное нормальное (гауссовское)распределение.
График этой плотности приведен на рисунке
Общее нормальное распределение задается плотностью
где
параметры распределения.
Покажите, что если ,то |
Нормальное распределение обладает большим количеством замечательных свойств, многие из которых мы рассмотрим в дальнейшем. Это распределение использовал Error: Reference source not found в модели случайных ошибок измерения. Случайная величина, имеющая нормальное распределение, называется нормальная или гауссовская случайная величина. Для этого распределения используют обозначение |
.
Графики плотности
Экспоненциальное (показательное) распределение.
Рассмотрим плотность
где
параметр распределения. Распределение с такой плотностью называется экспоненциальноеилипоказательное распределение. Приведем график плотности этого распределения при
Для доказательства достаточно воспользоваться формулой условной вероятности. Можно показать, что экспоненциальное распределение это единственное распределение, из распределений имеющих плотность, с таким свойством. |
Экспоненциальное распределение применяется при моделировании различных временных интервалов - времени жизни технических устройств, интервалов между моментами регистрации радиоактивных частиц датчиками радиации, интервалов между последовательными звонками в телефонной сети и т.п. Это распределение обладает замечательным свойством, которое называется отсутствие последействия. Именно, если
имеет экспоненциальное распределение, то
|
Покажите, что, если,то |
С точки зрения теории надежности это распределение описывает нестареющий элемент, т.е. в любой момент времени элемент имеет то же распределение остаточного времени жизни, что и новый элемент. Случайная величина, имеющая такое распределение называется экспоненциальнаяилипоказательная случайная величина. Это распределение обозначается |