Смеси распределений.
Пусть
конечный или счетный набор распределений на одном и том же измеримом пространстве и
дискретное распределение, т.е.
Тогда функция
так же будет распределением, которое называется смесь распределений
Числа
называются коэффициентами смеси.
Ситуацию, в которой возникает смесь распределений, можно представить себе, например, так. Случайно, в соответствии с распределением
выбирается одна из вероятностей
а затем проводится эксперимент в соответствии с выбранной вероятностью.
При смешивании распределений, очевидно, аналогичным образом смешиваются их функции распределения и (если существуют) плотности. Смешаем два бета-распределения B(2,6) и B(6,2) с коэффициентами 1/2. График плотности получившегося распределения приведен на рисунке
Данную плотность можно использовать для моделирования стрельбы по одной мишени двух стрелков, один из которых целится в точку
а другой – в точку
Смешивая различные бета-распределения, можно моделировать различые способы выбора случайной точки на отрезке. На следующем рисунке приведен график плотности смеси пяти бета-распределений.
Нормальное (гауссовское) распределение.
Рассмотрим положительную функцию
Докажите это, переходя к полярным
координатам в интеграле
|
Так как
то функция |
,
который , очевидно, равен квадрату
исходного.
является плотностью и задает так называемое стандартное нормальное (гауссовское) распределение.
График этой плотности приведен на рисунке
Общее нормальное распределение задается плотностью
где
параметры распределения.
Покажите, что если
|
Нормальное распределение обладает большим количеством замечательных свойств, многие из которых мы рассмотрим в дальнейшем. Это распределение использовал Error: Reference source not found в модели случайных ошибок измерения. Случайная величина, имеющая нормальное распределение, называется нормальная или гауссовская случайная величина. Для этого распределения используют обозначение |
,то
.
Графики плотности
Экспоненциальное (показательное) распределение.
Рассмотрим плотность
где
параметр распределения. Распределение с такой плотностью называется экспоненциальное или показательное распределение. Приведем график плотности этого распределения при
Для доказательства достаточно воспользоваться формулой условной вероятности. Можно показать, что экспоненциальное распределение это единственное распределение, из распределений имеющих плотность, с таким свойством. |
Экспоненциальное распределение применяется при моделировании различных временных интервалов - времени жизни технических устройств, интервалов между моментами регистрации радиоактивных частиц датчиками радиации, интервалов между последовательными звонками в телефонной сети и т.п. Это распределение обладает замечательным свойством, которое называется отсутствие последействия. Именно, если
имеет экспоненциальное распределение, то
|
Покажите, что, если
,то |
С точки зрения теории надежности это распределение описывает нестареющий элемент, т.е. в любой момент времени элемент имеет то же распределение остаточного времени жизни, что и новый элемент. Случайная величина, имеющая такое распределение называется экспоненциальная или показательная случайная величина. Это распределение обозначается |
