Многомерное нормальное распределение
Пусть
вектора
- симметричная положительно определенная матрица размера k x k,
матрица , обратная к
- транспонированная матрица,
- определитель матрицы A.
Распределение с плотностью
называется многомерным нормальным распределением с параметрами
Многомерное нормальное (гауссовское распределение) является обобщением одномерного нормального распределения и обычно используется для моделирования опытов, в которых одновременно имеются несколько одномерных нормальных величин, связанных между собой.
Это тоже важно. Докажите! |
Если матрица
диагональная, то случайные координаты многомерного нормального случайного вектора независимы. |
В важном частном случае (k=2) многомерное нормальное распределение превращается в двумерное. Матрица
где диагональные элементы положительны,
положительно определена и плотность имеет вид
Смысл параметров
и , в общем случае элементов матрицы
будет объяснен в дальнейшем. График плотности при
приведен ниже
Числовые характеристики случайных величин и векторов
В данном разделе определяются основные числовые характеристики случайных величин и векторов – математическое ожидание , дисперсия, ковариация, коэффициент корреляции и т.д. При определении и вычислении всех этих характеристик используется т.н. интеграл Лебега – обобщение понятия интеграла Римана на случай произвольных пространств.
Интеграл Лебега – математическое ожидание
Пусть
основное вероятностное пространство и
случайная величина.
Наша цель – определить интеграл Лебега от случайной величины
который в теории вероятностей называется математическое ожидание (среднее значение) случайной величины
Вначале определим этот интеграл для простых случайных величин.
Если случайная величина простая
то интегал Лебега от простой случайной величины определяется так
В частности
Ясно, что, таким образом определенный, интеграл обладает следующими очевидными свойствами
Свойства интеграла Лебега (математического ожидания)
для
независимых случайных величин
Доказательство последнего свойства следует из того, что для независимых случайных величин
Пусть теперь случайная величина неотрицательна. Тогда для нее существует последовательность простых случайных величин монотонно приближающая ее снизу.
Интеграл Лебега определим как предел интегралов от простых случайных величин.
Заметим, что так как последовательность интегралов от монотонно возрастающих функций тоже монотонно возрастает, у этой последовательности обязан быть предел, пусть даже равный бесконечности. Можно показать, что этот предел не зависит от последовательности приближающих простых случайных величин, т.е. определение корректно. Для этого используем следующую лемму
Лемма
Пусть
- последовательность простых случайных
величин,
также простая случайная величина и
Тогда
Доказательство.
Для любого
последовательность множеств
и
Доказательство завершено.
Пусть
теперь
и
- две последовательности простых функций
сходящиеся к
.
Тогда дважды используя лемму, получаем,
что одновременно должны выполняться
два неравенства
что доказывает равенство
т.е. определение корректно.
Для произвольной случайной величины положим
если хотя бы один из этих интегралов конечен.
Скажем, что у случайной величины
конечное математическое ожидание, если конечны оба этих интеграла, или что то же самое, конечен интеграл
Свойства интегралов от простых случайных величин переносятся на случай произвольных случайных величин без изменений. Доказательства этих свойств состоят, по существу, из доказательств обоснованности предельного перехода в соответствующих формулах. Для этого используются следующие теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега, доказательства которых содержатся в курсе функционального анализа.
Заметим,
что свойство нормированности вероятности
при построении интеграла не использовалось.
Таким образом можно строить интегралы
по произвольным мерам.
Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега
Теорема о монотонной сходимости
Счетная аддитивность
Если
случайные величины
неотрицательны, то
Лемма Фату
Сходимость и свойства почти наверное
В теории вероятностей используется несколько понятий сходимости случайных величин. Одна из них – поточечная сходимость (сходимость в каждой точке ) использовалась при определении интеграла Лебега. Следующий вид сходимости называется сходимость почти наверное (п.н.)
Последовательность сходится почти во всех точках (кроме тех, вероятность которых равна 0).
Более общо, говорят что некоторое свойство, относящееся к одной или нескольким случайным величинам выполнено почти наверное, если оно выполнено для всех точек , кроме множества точек имеющего вероятность 0.
Докажите! |
Например,
|
Если
то
Теорема Лебега о мажорируемой сходимости
Неравенства
Неравенство Маркова
Доказательство следует из очевидного неравенства
и свойств 1) и 3) математического ожидания.
Неравенство Чебышева. Дисперсия
Доказательство следует из неравенства Маркова, примененного к случайной величине
Величина
называется дисперсия случайной величины. Она является естественной мерой разброса случайной величины относительно ее математического ожидания. Очевидны следующие свойства дисперсии.
для независимых с.в.
Следующее свойство выявляет смысл математического ожидания и дисперсии, как экстремальных характеристик с.в. Будем обозначать точку экстремума (минимума и максимума) функции так
Тогда
Для доказательства заметим, что по переменной x выражение
представляет собой квадратный трехчлен.