Вычисление интеграла Лебега на прямой.

Так как на распределение на прямой однозначно определяется функцией распределения

то интеграл Лебега часто обозначают так

и называют интегралом Лебега-Стильтьеса от функции g по функции F.

Если функция распределения имеет плотность

то предыдущий интеграл интеграл превращается в интеграл

где

мера Лебега на прямой.

Для доказательства этого достаточно опять рассмотреть простые функции и перейти к пределу. Можно показать, что

если функция g (x) интегрируема по Риману, то

где последний интеграл понимается в смысле Римана.

Таким образом, в практически важных случаях вычисление интеграла Лебега сводится к вычислению конечной суммы, ряда или интеграла Римана (или их комбинаций). В дальнейшем для интегралов по мере Лебега будем опускать символ и использовать такое же обозначение как и для интегралов Римана.

Вычисление интеграла Лебега в произведении пространств. Теорема Фубини

В математическом анализе кратные интегралы часто вычисляются с помощью сведения их к повторным интегралам. Аналогично можно вычислять и интегралы Лебега, в тех случаях, когда основное вероятностное пространство является произведением вероятностных пространств.

Теорема Фубини

Пусть основное пространство является произведением двух пространств

и существует

Тогда

Теорема обобщается на любое конечное произведение вероятностных пространств. Доказательство можно найти, например, в книге Ширяева.

Вычисление маргинальных плотностей

Пусть

случайный вектор с совместной плотностью распределения

Из теоремы Фубини следует, что существует плотность распределения каждого подвектора

данного вектора, которая получается интегрированием совместной плотности по всем «свободным» переменным. В частности плотность i-той координаты вектора выглядит так

Плотность подвектора называется частная или маргинальная плотность.

Нетрудно показать, например, что маргинальные плотности многомерного нормального вектора также являются многомерными нормальными плотностями.

Вычисление числовых характеристик важных распределений.

Вычислим математическое ожидание и дисперсию для наиболее важных распределений.

Название распределения	Математическое ожидание	Дисперсия
Вырожденное в точке a	a	0
Биномиальное (n,p)
Геометрическое p
Пуассоновское
Нормальное стандартное	0	1
Нормальное
Равномерное на отрезке (0,1)	1/2	1/12
Равномерное на отрезке (A,B)
Бета
Экспоненциальное
Гамма

Если случайные величины имеют многомерное нормальное распределение

то

Вычисление всех характеристик представляет собой, по существу, упражнения из математического анализа по суммированию рядов и взятию интегралов. Упростить в ряде случаев эти вычисления можно, если представить исследуемую случайную величину в виде суммы независимых случайных величин и воспользоваться свойствами математического ожидания и дисперсии.