Алгебра и сигма-алгебра

При построении математической модели случайного объекта необходимо не только указать все возможные элементарные исходы опыта, но и определить (перечислить) все возможные события, которые могут произойти в этом опыте. Принято следующее определение:

Алгебра событий A это набор подмножеств пространства элементарных исходов для которого выполняются следующие условия:

Сигма - алгебра событий F это набор подмножеств пространства элементарных исходов для которого выполняются следующие условия:

и для любой счетной последовательности

Очевидно, что любая сигма-алгебра является алгеброй, но не наоборот.

Колмогоров показал, что естественной математической моделью для множества событий является сигма-алгебра.

Очевидным примером сигма-алгебры является набор всех подмножеств пространства элементарных исходов – это наибольшая сигма-алгебра, возможная на данном пространстве элементарных исходов.

Наименьшая (тривиальная) сигма-алгебра это следующий набор подмножеств

Если алгебра или сигма-алгебра содержит событие A , то она обязана содержать и отрицание A. Поэтому минимальное число подмножеств в нетривиальной сигма-алгебре равно 4.

Алгебры и сигма-алгебры обозначаем жирными наклонными латинскими буквами.

Случайные события

Элемент сигма-алгебры в дальнейшем будем называть случайным событием.

Информационный смысл понятия сигма - алгебра

В теории вероятностей предполагается, что в опыте наблюдаются события, а не элементарные исходы. Это означает, что два описания опыта с одним и тем же пространством элементарных исходов, но разными сигма-алгебрами будут различны. Если в опыте с бросанием двух игральных костей определить пространство с 36 исходами (5 вариант), то тривиальная сигма-алгебра и наибольшая сигма–алгебра дают абсолютно разные описания опыта. Наблюдая события тривиальной сигма–алгебры мы не получаем никакой информации об значении элементарного исхода, наблюдая события второй точно знаем, какое из элементарных событий произошло. Любая другая сигма-алгебра дает частичную информацию об элементарных исходах. Например, сигма-алгебра

дает только информацию о том, совпадают ли значения на двух игральных костях.

Пересечение сигма-алгебр

Самостоятельное доказательство этого утверждения является хорошим средством для того, чтобы понять, что такое сигма-алгебра

Пересечение двух любых сигма-алгебр, определенных на одном и том же пространстве элементарных исходов также является сигма-алгеброй. Аналогично пересечение любого (не обязательно счетного) количества сигма-алгебр, определенных на одном и том же пространстве элементарных исходов также является сигма-алгеброй.

Минимальная сигма-алгебра

Пусть D – некоторый набор случайных событий (набор любой мощности). Пересечение всех сигма-алгебр, содержаших этот набор, называется минимальная сигма-алгебра, порожденная набором D и обозначается

В частности, если событие , то

Полная группа событий

Полная группа событий это полная группа подмножеств, каждое из которых является событием. Говорят , что события полной группы это разбиение пространства элементарных исходов.

Конечно-аддитивная функция

Пусть A – алгебра. Функция  , отображающая алгебру в множество действительных чисел

называется конечно-аддитивной, если для любого конечного набора попарно несовместных событий

Счетно-аддитивная функция

Пусть F – алгебра или сигма-алгебра. Функция

называется счетно-аддитивной, если она конечно-аддитивна и для любого счетного набора попарно несовместных событий

Мера

Мера - это неотрицательная счетно-аддитивная функция, определенная на сигма-алгебре, удовлетворяющая условию

Конечная мера

Мера называется конечной, если

Вероятность

Вероятность (вероятностная мера) P это мера такая , что

С этого момента мы перестанем измерять вероятность в процентах и начнем измерять ее действительными числами от 0 до 1.

Когда вы пишите P всегда представляйте себе, какое пространство элементарных исходов и сигма-алгебра имеются в виду. Тогда вы сможете избежать многих ошибок

Обозначение P (Probability) для вероятности является стандартным, не стоит только забывать,что сама по себе (без определения пространства элементарных исходов и сигма-алгебры) вероятность не определена.

Число

называют вероятностью события A