Условное распределение

Пусть и- случайные векторы произвольной конечной размерности (например,kиs) заданные на некотороми вероятностном пространстве

Функция называется условным распределением случайной величиныпри условии, если

1. При каждом условная вероятность

2. При каждом функцияявляется распределением

Замечательным является тот факт, что для любых случайных векторов условное распределение существует. Доказательство этого утверждения и более общие условия существования условного распределения можно найти, например, в книге Ширяева. Для условного распределения часто используют следующее обозначение:

Если условное распределение при каждом имеет плотность относительно некоторой меры, то эта плотность называется условной плотностью распределения случайной величиныпри условиии обозначается

Обозначив распределение случайной величины, используя свойства 8) и 9) условного математического ожидания получим, что для любых борелевских подмножеств

Наоборот, если функция удовлетворяет соотношению

то она, очевидно, является условной плотностью.

Если распределениеимеет плотностьотносительно меры, то

Данное соотношение означает, что функция

является совместной плотностью вектора относительно произведения мер

Вычисление условной плотности и условного математического ожидания

Теорема.

Если у вектора существует совместная плотность распределенияотносительно произведения мер, то функция

где

является условной плотностью распределения случайной величины при условии

Доказательство.

Так как

, тоявляется плотностью распределения случайной величины. Очевидно, также что

удовлетворяет условию

_,

эквивалентному определению условной плотности.

Доказательство завершено.

Через условную плотность легко выразить условное математическое ожидание

Теорема.

Пусть - борелевская функция изв, тогда

Доказательство.

Если ,то теорема , очевидно, верна. Следовательно она верна для простых функций. Далее используем предельный переход под знаком интеграла Лебега.

Доказательство завершено.

Приведем пример вычисления условной плотности и условного математического ожидания.

Пример.

Пусть распределение вектора является двумерным нормальным распределением

Тогда одномерная плотность равна

иусловная плотность

Замечая, что данная плотность является плотностью нормального рfспределения с математическим ожиданием

получаем, что