11. Математическая модель динамики населения с учётом возрастной структуры. Стационарное возрастное распределение и его вероятностная интерпретация. Теоретические (аналитические) законы смертности.
Основы демографической статистики и моделирование.
Рассмотрим модель динамики населения с учётом возрастной структуры:
Пусть
l(t,x)-количество моделей в возрасте x в момент времени t
l(0,x)-распределение людей по возрасту в некоторый начальный момент времени – кол-во людей в «нуле»
l(t,0)-скорость рождения – сколько людей рождается в момент времени t
,
или 
где μ(x) -интенсивность смертей (смертность) - какая-то часть людей возраста x, умерших в момент вр. t,
d
=μ*l
-абсолютная смертность (количество
умерших)
,
Где
[
]-фертильный
возраст – интервал фертильности,
-функция
рождаемости.
[
+/-
∆] - модель
с включением миграции
Точно
такой же моделью описывается движение
рек (коэф. v
- скорость реки): 
)
x-
расстояние, l-количество
загрязняющих веществ, 
-самовосстановление
реки.
Пусть популяция стационарна, не зависит от t, то есть смертность и рождаемость постоянны во времени. В этом случае частные производные превращаются в ноль, кроме производной по возрасту:
-
стационарное
возрастное распределение
-количество
родившихся (
)
Подставив,
получим 
– демографический
потенциал.
Если соблюдать равенство, то распределение стационарно, сокращается, и сравниваем:
если
,
то популяция не будет стационарной,
если
же 
, то популяция
стационарна.
Если бы интенсивность смерти и рождаемости не зависели от t, то получаем зависимость от возраста (выше – lx=… - стац.возраст.распред.) - такая модель лежит в основе актуарных расчётов, но рассматривается не всё население, а когорта. Рассм, как меняется во времени их численность:
-некоторое количество людей, которые родились в один год
-умершие
до года (детская смертность) – 10% -
вызывает скачок l(x)
-момент
рождения
человек – начало координат
-постепенно
умирают
-к годам x=100 – обозначается w - никого не остаётся
100
x
Кривая
называется кривой
дожития,
означает, какая часть людей доживает
до возраста x. Чтобы построить функцию,
необходимо иметь статистику по когорте.
Функция строится в табличном виде,
данные статистики вносятся в таблицу
выживания
(или таблицу смертности).
|
: lо
,
это получим, решая дифференциальное
уравнение
В
результате 
, s(x)
–это доля живущих, выживших (сл-но,
вероятность).
Теоретические законы смертности – нбх знать вид функции интенсивности смерти, чтобы определить вероятностные хар-ристики стац.возраст.распределения.
П
о
аналогии с популяциями животных
,
тогда 
2) Закон де Муавра (1729)
,
где w-некоторый предельный возраст
3) З-н Гомперца (1825)
,
a, B-некоторые коэффициенты, раскроем s:
=>
s(x)=exp{
}
Зависимость объясняет, что поскольку d= должна иметь максимум, этот максимум смертей попадает на определённый возраст жизни. В этом возрасте вероятность смерти выше по сравнению с остальными.
,
где максимум берется по функции
f=s=-ds/dx
(это были основные, дополнительные дальше)
4) Модель Мэйкхема
- добавляется к предыдущей модели коэф.
A-учитывает
некоторый фон, связанный с эпидемиями,
бедствиями, различными катастрофами
5)Закон Вейбула
,
s(x)=exp{
}
6) Распределение Перкса
-является
вогнутой и хуже описывает ситуацию
(остальные были вогнутые)
(функция s(x) довольно громоздкая)
Вероятностная интерпретация стационарного распределения
В
ведём
случайную величину X – продолжительность
жизни при рождаемости. Тогда
P(X>x)=s(x), F(x)=P(X≤x)=1-s(x)
s(x)
P(
>x)
1
x
Найдём вероятность умереть на интервале
Пусть t малая величина, тогда:
t
-мгновенная смерть/интенсивность смертей
S=1-F
S`=-f(x)=
– показывает риск умереть в возрасте
х – функция риска.
12. Основные вероятностные характеристики, используемые в страховании жизни (безусловные и условные вероятности дожития, интенсивность смертности, средняя продолжительность жизни при рождении, средняя остаточная продолжительность жизни). Таблицы выживаемости (смертности). Отличие средних при использовании непрерывной и дискретной моделей.
В ведём случайную величину X – продолжительность жизни при рождаемости. Тогда P(X>x)=s(x), F(x)=P(X≤x)=1-s(x)
s(x)
P( >x)
1
x
Введём случайную величину L(x) – количество людей доживших до возраста x, причём lx – конкретная фактическая известная величина, поэтому значение приближённое:
l(x)=EL(x)
~~ 
,
т.е. l(x)=
I-индикатор события дожития A=( >x) (дожил-1, не дожил-0), поэтому её мат.ож. равно вер-ти А.
Обознач.
-если
величина дискретная, l(x)
- если возраст считать непрерывной
величиной
На практике используется не функция, а таблица (дискретная вел-на кол-ва людей):
x |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
Начальная графа – стартовый размер когорты -корень таблицы, который показывает её точность (1000, 10000, …), и чем больше, тем точнее.
Количество
умерших за год в когорте: dx=
Вероятность
того что человек дожил до возраста x, но
вероятность мереть в следующем году:
Это вероятность условная - при условии, что человек дожил
Вероятность
прожить ещё год: 
Количество
смертей (умерших), человек дожил до
возраста x, но умер в ближайшие n лет:
ndx=
Соответственно условные вероятности
n
=ndx/
;
n
Найдём вероятность умереть на интервале [x, x+t]:
P(x<X≤x+t|X>x)=
Пусть t малая величина, тогда:
t
-мгновенная смерть/интенсивность смертей
S=1-F
S`=-f(x)= – показывает риск умереть в возрасте х
В теории вероятности такая функция называется функцией риска
Среднее время жизни.
Среднее время жизни при рождении.
2) Остаточная продолжит.жизни – случ.величина, её мат.ож – средняя остаточная продолжит.жизни
Найдем
распределение 
:
вероятность умереть в интервале(x;x+t)
T(x)=X-x (?)
t – сколько осталось прожить
- приближенно
Рассмотрим вероятность того, что человек, доживший до возрастра x проживет еще m лет, но умрет в последующий n лет:
- отложенная смерность