9. Простейший (пуассоновский) процесс, его свойства, следствия из них. Сложнопуассоновский (составной пуассоновский) процесс, его вероятностные характеристики. Вывод формулы математического ожидания.
у
+
ct
-
,
где Yt – дискретная переменная – стартовый капитал страховщика, с – страховая премия, т.е. скорость, с кот в ст.комп. поступают средства, t – время,
N(t) – случайная величина, кол-во исков
N=
,
сумма индикаторов событий, EN
= np
= ν
N(t) – представляет собой пуассоновский процесс, его значениями явл. кол-во предъявл.исков.
P(N(t)
= x)
= [(λt)^x/x!]*e
- модель потока событий.
N(t)
T
- среднее время
между 2 скачками, чем меньше T,
тем интенсивней поток
T - время между событиями, событие значит предъявление иска и возмещение компанией опред. ущерба – каждая ступень имеет высоту Zt,
EZt
=
- средняя величина ступеньки
Если ущерб каждый раз разный, ступеньки имеют разные высоты, то имеет место составной пуасон.процесс. (верхний рисунок)
x=0,1….
генерирует
поток событий
t
-
время между событиями. При t=1
модель становится однопериодной. Так
же потоки являются аппаратами массового
обслуживания.
Простейший пуассоновский процесс (нижний рисунок) – процесс с независимыми приращениями, обладает свойствами:
1) стационарность, т.е. вероятность появления х событий на интервале (t; t+ ) зависит от -ширины интервала и от х, но не от t. Пара (х; ) определяет интенсивность событий.
постоянна,
потому поток стационарен
P ( x(t;t+τ)=n ) = Pn(τ)
2) отсутствие последействия – предыстория не влияет на вероятности появления событий в будущем. Только начальное состояние влияет на будущее, прошлое не имеет значения, его нет.
x(t(i);t(i+1)) и x(t(i-1),t(i)) независимы
3) ординарность, т.е. вероятность появления в некотором «малом» интервале времени более чем одного события почти равна 0. Эта вероятность на порядок меньше, чем вероятность вообще ни одного события или одного события.
P ( N(t;t+∆t)≥2 ) = 0(∆t)
- среднее время
между событиями, малость означает , что
T
<<1
Следствием из этих св-в является то, что интервалы времени между событиями распределены экспоненциально, = t(i+1)-t(i) распред экспоненциально
Проверка св-ва 3
1)
Разложим
е в ряд Тейлора и будем считать, что
,
т.е
-величина
маленькая.
А
если
,
то
является величиной второго порядка
малости.
означает, что
интервал
,
где T
= 1/λ
Проверим следствие.
Т.к
от t
не зависит, то можно положить, что t=0
Это
означает, что ф-я распределения
,
т.е τ – интервалы врем.между событиями
- распред.экспоненциально.
На
рис. - кривая
и
мат.ож. Т
Вероятностные характеристики сложного пуассон. процесса
Составной Пуассоновский процесс N(t)
Zi =Ii Si Ri
n – число договоров, EIi = p , сл-но, EN = np
Обозначения
ERi =
DRi
=
EN = ν
DN
=
Вывод формулы мат.ож.
Z=
,
N=1,2,3……,
Zn
– независимые друг от друга, одинаково
распред.
Т.к.
Zi
= Ii*Si*Ri,
Ii
переводится в N
=> Zi
= Si*Ri,
Si=1,
=> Zi
= Ri
=> Z
=
Если Rn = R, то Z = R*N (неправильно с точки зрения распределений, но в этом случае это вып)
Надо найти EZ, DZ
Если бы Z=NR, то как неоднородный портфель (???)
EZ=
*
= n*p*μ
= ν*μ
Если
Z≠NR,
действуя строго, получим EZ=
)
* p(N=n)
=
= =E
R
= ER EN
EN
DZ = DN*DR+(E²N)*DR+(E²R)*DN = τ²σ²+ν²σ²+μ²τ² = νσ²+μ²τ²
10. Модель коллективного риска (стохастическое уравнение динамики страховых резервов). Вероятность разорения страховой компании как функция начального капитала и рисковой надбавки. Случай экспоненциального распределения индивидуальных исков. Общий случай (неравенство Лундберга-Крамера).
Модель коллективного риска имеют следующие допущения:
Процесс поступления рисков растянут во времени. У нее есть динамика, при этом не рассматривается вероятность индивидуальных рисков (нет n и p и количества договоров).
Размеры выплат друг от друга не зависят
В страховую компанию поступает непрерывно во времени приток договоров с некоторой интенсивностью.
Рассматривается динамика резервов. Ставится задача: как параметры договоров (величина страховой премии, зависящей от страхового тарифа) и капитала (стартовая величина) влияют на вероятность разорения компании (то есть момент, когда резервы станут <0)
Yt – дискретная переменная – стартовый капитал страховщика
у + ct -
с – страховая премия, т.е. скорость, с кот в ст.комп. поступают средства, t – время
N(t) – случайная величина, кол-во исков
интенсивность,
скорость
E(ct)=EZ=
,
тогда C=
,
С - страховая премия, тариф.
реально
учит риск.надбавка C=
*(1+
),
из Т = Т0 + Тr
Тогда
вероятность
разорения при стартовом капитале Y0
=p(Yt
Если Y0<0 , то =1
Величину можно получить, решая интегрально дифференциальное уравнение.
Если
Z
распределяется по экспоненциальному
закону F(Z)
= P(Zt
Z)
= 1- e
(что наиболее приближено к реальности),
то имеется решение:
Если
y
=0
, то
0<η<1, и чем больше риск.надбавка, тем меньше вер-ть разорения.
Небобх сравнивать Y0 с -средние суммы, на которые мы страхуем, т.е рассм. (Y0/ ) - кратность
В общем случае – если Z распред произвольно - имеет место неравенство Крамера-Лундберга
,
где R -положительный корень интегрального уравнения
