25. Математическая модель непропорционального (эксцедентного) перестрахования. Задача минимизации риска разорения. Эффективное множество на плоскости «доход-риск» при разных уровнях удержания.

Непропорциональное страхование – или Страхование эксцедента убытка (stop-loss, передается то, что выше опред.суммы, котор.зависит от r). Перестрахование редко вступает в действие, но в этих случаях не несёт рисков – распределение убытка несимметрично.

У нас есть риск Zi ,и он делится след. образом:

Z

= min ( ,r) - = max (0, )

(Цедент) (Цессионарий)

Для перестраховщика эта ситуация ведения бизнеса - аналог франшизы.

r

Z=∑

=∑

Для простоты все одинаковые:

∑ = µ, у перестраховщика только больше дисперсия.

Доход страховщика без перестрахования : у=(1+η)EZ = (1+η) Nµ

Если он передает часть рисков в перестрахование, то:

у= N(1+ )(E - E )

y - доход цедента =N(η- )µ + N(1+ ) E

Как и раньше- задача минимизировать вероятность разорения.

P( > y) = P ( > ) =

= 1 - Ф ( )

это C(r)

Т.к. Ф монотонно возрастает, то эта вероятность минимальна, когда Ф максимальна.

Но Ф  max, если C  max, C - функция от переменной r, которая нбх опред, из критерия:C(r)  max.

Пример

Пусть страховая компания имеет 10 000 договоров на 1 год.

Все договора одинаковые, имеем следующее распределение:

			0
	5 *	2*	1-25*

E =5 * * + 2* * = 700

D =5,2 *

Пусть = = 1,645

На 1 год: = E + * = 1075

=700

=375

η= = = 0,536

надбавка норм., тк большое N

Т.о.

y=(1+η) µN = (1+0,536) * * 700 =10752000 ye

2) Пусть r = 10⁵, т.е цессонарий возмещает более ???

также надо установить , у которой другое распред. риска

Пусть =0,6, , т.к его диспресия больше

	105	0
pi	25*10-4=0.0025	1-25*10-4=0.9975

3) =250

=25*10⁶

- почти бернул. распред.

До перестрахования доход цедента y=NT=1075*10⁴

доход цессионария для 1-го договора

Распред. Ущерба для цессионария – риск за чертой r

	900 000	0
pi	5*10-4	1-5*10-4

=9*10⁵*5*10^-4=т₀ – нетто-ставка перестраховщика для цедента

доход цессионария

у цедента остается y’=355*10⁴

1-Ф(2,1)=0,018

или вероятность разорения

(риск разорения без цессии составляет5%, исходя из β=0,95)

Исследуем, как влияет лимит ответственности на параметры страховщика(риск его разорения, доход), если величина удержания произвольна

Можно ли найти оптимальное удержание?

Пусть r=r’/10⁵, изменили ед. измерения для удобства

r=1 => Z^(r)=10⁵ ; r=10 => Z^(r)=10⁶

Таблица распределения, будем считать, что 1<r<10, те между 10⁵ и 10⁶

для цедента решьине была 1, qp-вер-ть)

	r	1	0
pi	5*10-4	20*10-4	1-25*10-4

Необходимо найти доход и риски для страховщика

Кол-во договоров 10 000, N=10⁴

индивид =5*10^-4(r+4) => для N, =5*(r+4)

=5*(r²+4)*10^-4 => =5*(r+4)

- среднее, то что получает перестраховщик.

но у него еще есть накрутка – 1,6*5*10^-4*(10-r)=8(10-r)* 10^-4 – в расчете на одного человека, 1,6 – риск надбавки для перестраховщика

Т.к валюта поменялась, то 1075*10^-1 =>107.5

y^(r) =107.5-8(10-r) =27.5+8r

нам надо найти такое r, чтобы максимизировать функцию Ф, тем самым минимизировать разорение

max r^k=1.6 160 000

h(r) max(r)

hmax=2.15 

ниже r=1.6 – нет смысла рассматривать

выше - эффективное множество Парето-Эджуорта

в (.)1 – минимальные риски

в (.)2 – макс. доход

Вся задача рассматривается с позиции цедента.