1 курс / ОТК 1 курс-20191213T204228Z-001 / ОТК / Л_тература по ОТК / otksp_STZI_press для диска

3.13 Кола синусоїдного струму із взаємними індуктивностями

3.13.1 Рівняння для кіл із взаємними індуктивностями в комплексній формі

Вище у даному розділі розглядалися кола без індуктивних зв'язків. Оскільки індуктивні кола мають широке практичне застосування (спільні магнітні поля двох і більше котушок самоіндукції визначають принцип дії таких пристроїв, як трансформатори, зв'язані коливальні контури, варіометри та ін.), режим синусоїдного струму в таких колах потребує окремого розгляду.

Основні співвідношення для довільних законів зміни струмів в індуктивно зв'язаних колах отримані в розд. 1. Нехай струми в двох індуктивно зв'язаних елементах (див. рис.1.9) змінюються за синусоїдним законом з однаковою частотою:

i1 = Im1 cos(ωt +ψi1 ); i2 = Im2 cos(ωt +ψi2 ) .

Миттєві значення напруг на цих елементах, з урахуванням співвідношень

(1.26) і (1.27), становитимуть:

дних складових у виразах (3.99) і (3.100) призводить до запису миттєвих значень напруг у вигляді:

–комплексний опір взаємоіндукції; X M = ωM – опір взаємоіндукції.

Успіввідношеннях (3.99), (3.100), (3.102) і (3.103) відповідно миттєві значення напруг взаємоіндукції (записані із застосуванням функції косинуса), а також їх комплексні амплітуди при узгодженому увімкненні збігаються за знаком зі складовими напруг самоіндукції, а при зустрічному увімкненні мають протилежні знаки. Схеми ділянки розглядуваного кола показані на рис.3.34.

Здобуті в комплексному вигляді співвідношення (3.102), (3.103) між на-

пругами і струмами для двох індуктивно зв'язаних елементів можна застосовувати до кіл з будь-якою кількістю взаємних індуктивностей. Складаючи для таких кіл рівняння за другим законом Кірхгофа, необхідно у виразі для комплексної напруги на кожному індуктивно зв'язаному елементі, крім комплексної напруги самоіндукції, записувати всі комплексні напруги взаємоіндукції з урахуванням їх знаків відповідно до характеру увімкнення.

Рисунок 3.34 – Ділянка кола із взаємною індуктивністю: а – для узгодженого; б – зустрічного увімкнень

Для розрахунку лінійних кіл із взаємними індуктивностями комплексним методом, окрім методу рівнянь Кірхгофа (див. приклад 3.11) застосовують без додаткових перетворень метод накладання. Для розв’язання окремих задач використовують прийоми еквівалентних перетворень і метод еквівалентного генератора. Застосування методу вузлових напруг у комплексному вигляді для розрахунку кіл з взаємними індуктивностями без додаткових перетворень ускладнене.

Розв’язання. Використовуючи співвідношення (1.29) для коефіцієнта зв'язку k , визначимо взаємну індуктивність:

M = k L1L2 = 0,707 100 10−6 = 7,07 10−3 Гн = 7,07 мГн.

Щоб розв’язати задачу комплексним методом, запишемо комплексну амплітуду заданої напруги і визначимо комплексні опори елементів кола:

U m1 =10e jπ/ 4 В; Z L1 = jωL1 = j106 10−3 = j103 Ом = j1 кОм;

Z M = jωM = j106 7,07 10−3 = j7,07 103 Ом = j7,07 кОм.

Розрахуємо комплексну амплітуду струму:

Враховуючи узгоджений характер увімкнення індуктивно зв'язаних елементів і відсутність струму в розімкнених затискачах індуктивності L2 , визначимо комплек-

сну амплітуду шуканої напруги:

U m2 = Z M I m1 = j7,07 103 7,07 10−3 = j50 В.

Запишемо миттєве значення напруги: u2 (t) =50cos(106 t +π / 2) В.

Приклад 3.11. Скласти у загальному вигляді необхідну і достатню кількість рівнянь для визначення у комплексному вигляді струмів кола (рис.3.35, б) методом рівнянь Кірхгофа. Параметри елементів кола, а також комплексна амплітуда і частота джерела ЕРС задані.

Розв’язання. Виберемо умовні позитивні напрями для комплексних амплітуд струмів у схемі, пронумеруємо вузли, виберемо два незалежних контури і напрями обходу в них (рис.3.35, б), після чого складемо необхідну і достатню кількість незалежних рівнянь Кірхгофа в комплексній формі:

Запишемо вирази для комплексних амплітуд напруг на індуктивностях, враховуючи характер увімкнення:

Підставимо вирази (3.104) − (3.106) до (3.107) і (3.108) і згрупуємо доданки:

[R1 +jω(L1−M13)]I m1+jω(M23−M12 )I m2+j[ω(L3−M13) −1/ ωC]I m3= Em; (3.110) jω(M13− M12 )I m1+[R2+jω(L2− M23)]I m2+j[ω(M23−L3)+1/ ωC]I m3= 0 . (3.111)

Рівняння (3.104), (3.110) і (3.111) записані у впорядкованій формі і дозволяють знайти комплексні амплітуди струмів даного кола, застосовуючи визначники.

Зазначимо, що дане коло має одне джерело енергії, однак безпосередньо визначити еквівалентний комплексний опір відносно затискачів джерела Z e методом пере-

творень не можна, а лише після розрахунку струмів: Z e = Em / I m1.

3.13.2Еквівалентні перетворення ділянок кіл із взаємними індуктивностями

Метою перетворень ділянок кіл із взаємними індуктивностями є заміна їх еквівалентними схемами без елементів з індуктивними зв'язками. До основних прийомів належать еквівалентні перетворення при послідовному і паралельному з'єднаннях віток з індуктивними елементами, а також перетворення взаємних індуктивностей, які мають спільну точку з'єднання [7, c.235−243].

На практиці частіше застосовують послідовне з’єднання індуктивно зв'язаних котушок самоіндукції. Схеми заміщення для двох котушок зображені на рис.3.36. При цьому характер увімкнення котушок, незалежно від напряму струму, визначається послідовністю увімкнення однойменних затискачів.

Рисунок 3.36 – Послідовне з’єднання індуктивно зв’язаних котушок: а – для узгодженого; б – зустрічного увімкнень

Співвідношення між комплексними амплітудами струмів і напруг для узгодженого і зустрічного (рис.3.36) увімкнень мають вигляд:

U m12 =U1 +U m2 = R1 I m + jωL1 I m ± jωM I m + R2 I m +jωL2 I m ± jωM I m=

=[R1 + jωLe1 + R2 + jωLe2 ]I m =(Re + jωLe )I m (3.112)

де Le1 = L1 + M ; Le2 = L2 + M ; Le = L1 + L2 + 2M − еквівалентні індуктивності відповідно першої котушки, другої котушки і всього кола при уз-

мають знак плюс, а при зустрічному − знак мінус.

Вираз (3.112) дозволяє побудувати векторні діаграми (рис.3.37). Співвідношення для послідовного з'єднання індуктивно зв'язаних коту-

шок, а також побудовані векторні діаграми дозволяють зробити висновки:

1) при узгодженому увімкненні еквівалентні індуктивності кожної з ко-

Рисунок 3.37 – Векторні діаграми при послідовному з’єднанні індуктивно зв’язаних котушок: а – узгоджене; б – зустрічне увімкнення, L1 < M, L2 > M

2) при зустрічному увімкненні еквівалентні індуктивності кожної з котушок зменшуються у порівнянні з випадком відсутності взаємоіндуктивних зв'я- зків на M , а еквівалентна індуктивність всього кола зменшується на 2M ; при максимальному зв'язку ( k =1) і зустрічному увімкненні еквівалентні індуктивності становитимуть:

Le1 = L1 − L1L2 , Le2 = L2 − L1L2 , Le = L1 + L2 − 2 L1L2 =( L1 − L2 )2 ;

( Le1,2 = L1,2 − M < 0 ); комплексний опір такої котушки матиме ємнісний харак-

тер, а коло, загалом, − індуктивний характер; наприклад, векторна діаграма (рис.3.37, б) відповідає варіанту, коли Le1 = L1 − M < 0.

Залежність еквівалентної індуктивності послідовно сполучених індуктивно зв'язаних котушок від величини зв'язку і характеру увімкнення використо-

вується у варіометрах − пристроях, які дозволяють змінювати індуктивність, а також при виготовленні дротяних резисторів з малою індуктивністю.

Приклад 3.12. Повні опори двох послідовно з’єднаних індуктивно зв'язаних

Zзс =1 кОм. Знайти активний опір R , індуктивність L кожної котушки та їх взаємну індуктивність M , якщо коефіцієнт зв'язку k = 0,5.

Розв’язання. Запишемо співвідношення для повних опорів при узгодженому і зустрічному увімкненнях:

Zзг = (2R)2 +[ω(2L + 2M )]2 ; Zзс = (2R)2 +[ω(2L −2M )]2 .

Підставляючи задані значення повних опорів і частоти, а також використовуючи співвідношення для коефіцієнта зв'язку для ідентичних котушок k = 0,5 = M / L , отримуємо систему з двох рівнянь з двома невідомими:

Піднісши до квадрата ліві та праві частини рівнянь, маємо:

0,5 106 = R2 +9π21012 L2 ; 0,25 106 = R2 + π21012 L2 ,

звідки після елементарних перетворень отримуємо:

3.13.3 Лінійний трансформатор

Трансформатором називається пристрій, призначений для перетворення амплітуд і початкових фаз напруг і струмів, принцип дії якого оснований на явищі взаємоіндукції. Історично поява трансформаторів значною мірою обумовила широке практичне застосування синусоїдних струмів у другій половині XIX ст. Перші практичні і теоретичні роботи, пов'язані з трансформаторами, виконали Яблочков13, Ферраріс14, Доливо-Добровольський15, Тесла16.

13 Яблочков Павло Миколайович (1847–1894) – військовий інженер, винахідник у галузі електротехніки. Розробив і вдосконалив перше джерело світла (електрична свіча), генератори і хімічні джерела струму, трансформатор (патент − у 1876 р.). Ініціював централізоване виробництво електроенергії.

14Ферраріс Галілео, Ferraris (1847–1897) – італійський фізик і електротехнік. Основні роботи присвячені теорії і практичному застосуванню змінних струмів. У 1884-1887 рр. одним з перших виконав дослідження трансформаторів. Відкрив явище магнітного поля, що обертається, і на цій основі створив модель асинхронного двигуна. Працював також в області оптики і теорії тепла.

15Доливо-Добровольський Михайло Йосипович (1862–1919) – електротехнік. Зба-

гатив електротехніку низкою видатних відкриттів і винаходів, розробив усі пристрої (генератори, двигуни, трансформатори, лінії передачі) для трифазних систем. Створив

Струм первинної обмотки в режимі холостого ходу I1х.х називається

струмом намагнічення19. Струм намагнічення і напруга на розімкнених затискачах вторинної обмотки (напруга холостого ходу U 2х.х) визначаються з сис-

теми рівнянь (3.114) у вигляді:

Рисунок 3.39 – Режим холостого ходу реального трансформатора

Дві спрощені моделі (довершений та ідеальний трансформатор) дозволяють обгрунтувати можливості трансформаторів перетворювати вхідні та вихідні напруги, струми і опори, ввести поняття коефіцієнта трансформації і пояснити значення струму намагнічення.

Довершеним називається трансформатор (рис.3.40,а), у якого відсутні

19 Діюче значення струму намагнічення є одним з технічних показників більшості трансформаторів, які використовуються в електроенергетиці, і становить не більше (5–10) % від діючого значення струму I1 в режимі навантаження.

Рисунок 3.40 – Схеми довершеного (а) та ідеального трансформатора (б)

Одержані рівняння є залежними, оскільки визначник для коефіцієнтів в правій частині рівнянь дорівнює нулю. Залежність рівнянь (3.115) виявляється в тому, що відношення другого рівняння до першого є дійсною величиною

яка називається коефіцієнтом трансформації:

Оскільки індуктивності ідеалізованих котушок пропорційні квадратам кількості витків, коефіцієнт трансформації можна виразити через числа витків обмоток у вигляді

n = N2 / N1,

де N1, N2 – відповідно кількість витків первинної та вторинної обмоток. З першого рівняння системи (3.115) можна виразити струм I1 у вигляді

де I1х.х =U1 / jωL1 − струм намагнічення довершеного трансформатора. З виразу (3.116) виходить, що відношення струмів I1 і I 2

відрізняється від коефіцієнта трансформації на величину, що дорівнює відношенню струму намагнічення до струму вторинної обмотки.

Якщо у довершеного трансформатора спрямувати L1 → ∞, то струм намагнічення дорівнюватиме нулю ( I1х.х = 0 ). Такий трансформатор називається

ідеальним. У ідеального трансформатора коефіцієнт трансформації пов'язує не тільки напруги і струми

але і комплексний опір навантаження з вхідним комплексним опором у вигляді:

Схема ідеального трансформатора показана на рис.3.40,б. Аналіз співвідношень (3.117) і (3.118) дозволяє зробити висновки:

1) ідеальний трансформатор, не змінюючи початкові фази, перетворює тільки амплітуди (діючі значення) вхідних і вихідних напруг і струмів:

2) вхідний опір ідеального трансформатора має такий же характер (аргумент), як і опір навантаження, відрізняючись від нього величиною повного

опору в n2 разів:

Zвх = Zн / n2 ;

3) ККД ідеального трансформатора дорівнює одиниці, оскільки комплексні потужності, а отже, активні, реактивні та повні потужності на вході та в навантаженні однакові:

струмами на вході та виході ідеального трансформатора, які дорівнюють один

тивні потужності на вході та виході ідеального трансформатора, які дорівнюють одна одній;

4) довершений трансформатор за своїми властивостями наближається до ідеального, якщо I1х.х / I2 << n .

3.13.4 Схеми заміщення трансформатора

Для розрахунку режиму реального трансформатора застосовують систему

Z M = jωM = jX M – комплексний опір взаємної індуктивності.

Системі рівнянь (3.113) відповідає двоконтурна схема (рис.3.41, а), в якій Z11 і Z 22 є власними комплексними опорами контурів, а − Z M – взаємним

комплексним опором. Така схема називається чотириполюсною схемою заміщення трансформатора. На рис.3.41, б на чотириполюсній схемі позначені елементи, значення яких безпосередньо виходять з системи рівнянь (3.113).