- •Введение
- •Глава 1 аппроксимация методом наименьших квадратов
- •Программа 1
- •Контрольные вопросы к главе 1
- •Расчетная многовариантная задача № 1
- •Варианты творческих заданий
- •Глава 2. Способы сглаживания экспериментальных данных в mathcad
- •Контрольные вопросы к главе 2
- •Расчетная многовариантная задача № 2
- •Варианты творческих заданий
- •Глава 3. Интерполяция и экстраполяция
- •Контрольные вопросы к главе 3
- •Расчетная многовариантная задача № 3
- •Варианты творческих заданий
- •Глава 4. Оптимизация
- •Методы одномерной оптимизации
- •Контрольные вопросы к главе 4
- •Расчетная многовариантная задача № 4
- •Варианты творческих заданий
- •Глава 5. Интегрирование
- •Вычисление определенных интегралов
- •Метод прямоугольников
- •Метод трапеций
- •Численное интегрирование с помощью квадратурных формул
- •Метод парабол Симпсона
- •Интегрирование с помощью встроенных функций MathCad
- •Интегрирование функции, заданной таблично
- •Интегральные уравнения получены на основании температурной зависимости теплоемкости индивидуального вещества:
- •Контрольные вопросы к главе 5
- •Расчетное многовариантное задание № 5
- •Расчетное многовариантное задание № 6
- •Варианты творческих заданий
- •Глава 6. Дифференцирование
- •Решение дифференциальных уравнений
- •Метод Эйлера
- •М етод Эйлера-Коши
- •Метод Рунге-Кутта 4 порядка
- •Решение дифференциальных уравнений с помощью встроенных функций MathCad
- •Оду первого порядка
- •Оду второго и выше порядка
- •Решение систем оду первого порядка
- •Решение «жестких» систем оду
- •Контрольные вопросы к главе 6
- •Расчетная многовариантная задача № 7
- •Расчетная многовариантная задача № 8
- •Литература
- •Оглавление
Контрольные вопросы к главе 1
1. Что означает термин аппроксимации в математике?
2. Сформулируйте задачу аппроксимации функции. В чем ее отличие от аппроксимации экспериментальных данных функцией?
3. Приведите пример сеточной функции. Какими способами ее можно получить?
4. Что такое аппроксимирующая функция?
5. Что называют узлами сеточной функции?
6. Какими критериями можно пользоваться для отыскания аппроксимирующей функции?
7. Какое принципиальное различие между аппроксимацией и интерполяцией?
8. В чем разница между глобальной и локальной интерполяцией?
9. В чем заключается задача регрессии?
10. Что называют экстраполяцией?
11. К чему сводится задача аппроксимации табличных данных, если в качестве аппроксимирующей функции выбрать линейную комбинацию из k независимых функций?
12. Каким образом задачу аппроксимации можно свести к задаче решения системы линейных уравнений?
13. Вспомните, какие методы можно использовать при решении системы линейных уравнений?
14. Каким свойством обладает обращенная матрица?
15. Решение СЛАУ методом обращения матрицы является итерационным или точным методом?
16. Как можно вычислить дисперсию адекватности и погрешности определения параметров аппроксимирующей функции?
17. Как зависят искомые погрешности искомых параметров от числа степеней свободы?
18. Как получить систему линейных уравнений, если в качестве аппроксимирующей функции взять линейную функцию?
19. Какими методами получают параметры линейной регрессии?
20. Какие графические и математические интерпретации имеют параметры линейной регрессии?
21. Какие физико-химические данные можно рассчитать с помощью обработки линейной зависимости lnP=f(1/T)?
22. Как получены точки и линии на графиках зависимости программы 2?
23. Как получить систему линейных уравнений, если в качестве аппроксимирующей функции взять полином?
24. Какие степени полинома в задачах аппроксимации экспериментальных данных обычно применяются? Почему?
25. Как выбрать оптимальную степень полинома? Какими критериями при этом можно воспользоваться?
Расчетная многовариантная задача № 1
По данным таблицы 2 [X,Y]:
а) рассчитайте постоянные линейной зависимости y=a+bx и их абсолютные погрешности, вычислить коэффициент корреляции;
б) выполните расчеты по данным зависимости давления насыщенного пара от температуры, P=f(T), полученным в лабораторном практикуме по физической химии.
в) выполните аппроксимацию данных полиномом методом обращения матрицы параметров, выберите оптимальную степень полинома по критерию минимума дисперсии адекватности;
г) выполните аппроксимацию данных полиномом, используя функцию regress в MathCad, выберите оптимальную степень полинома по критерию дисперсии адекватности.
Таблица 2
№ вар. |
Данные |
||||||||||
1.
|
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Y |
1.12 |
2.35 |
3.56 |
4.67 |
5.55 |
6.45 |
7.87 |
8.92 |
9.35 |
10.43 |
|
2.
|
Х |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
Y |
0.11 |
1.25 |
2.36 |
3.56 |
4.45 |
5.32 |
6.77 |
7.82 |
8.45 |
9.63 |
|
3.
|
Х |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
Y |
11.1 |
9.92 |
8.84 |
7.77 |
5.65 |
4.55 |
3.47 |
2.32 |
1.25 |
0.13 |
|
4.
|
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Y |
2.12 |
2.35 |
2.56 |
2.67 |
3.55 |
3.95 |
4.17 |
4.92 |
5.35 |
6.43 |
|
5.
|
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Y |
3.12 |
4.35 |
3.56 |
3.63 |
3.85 |
4.15 |
4.37 |
4.62 |
4.95 |
5.04 |
|
6.
|
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Y |
1.13 |
2.15 |
3.26 |
4.37 |
5.45 |
6.55 |
7.67 |
8.72 |
9.85 |
10.93 |
|
7.
|
Х |
1.0 |
1.2 |
1.3 |
1.4 |
1.5 |
1.6 |
1.7 |
1.8 |
1.9 |
2.0 |
Y |
1.10 |
2.15 |
3.36 |
4.67 |
3.55 |
3.45 |
3.17 |
2.92 |
2.35 |
2.14 |
|
8.
|
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Y |
0.12 |
0.18 |
0.28 |
0.48 |
0.69 |
0.78 |
0.92 |
0.95 |
0.98 |
0.99 |
|
9.
|
Х |
2.1 |
2.2 |
2.3 |
2.4 |
2.5 |
2.6 |
2.7 |
2.8 |
2.9 |
3.0 |
Y |
6.12 |
6.35 |
7.56 |
8.67 |
9.55 |
12.4 |
15.8 |
13.9 |
12.3 |
10.4 |
|
10.
|
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Y |
1.23 |
2.35 |
3.43 |
4.27 |
5.35 |
6.75 |
7.87 |
8.42 |
9.35 |
10.4 |
|
11.
|
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Y |
10.1 |
9.35 |
8.56 |
7.67 |
6.55 |
5.45 |
4.87 |
3.92 |
2.35 |
1.43 |
|
12.
|
Х |
4.1 |
4.2 |
4.3 |
4.4 |
4.5 |
4.6 |
4.7 |
4.8 |
4.9 |
5.0 |
Y |
1.1 |
2.3 |
3.5 |
4.6 |
5.5 |
6.4 |
7.8 |
8.9 |
9.3 |
10.4 |
|
13.
|
Х |
5.1 |
5.2 |
5.3 |
5.4 |
5.5 |
5.6 |
5.7 |
5.8 |
5.9 |
6.0 |
Y |
4.1 |
9.3 |
12.5 |
17.6 |
21.5 |
25.4 |
29.7 |
30.9 |
35.5 |
40.4 |
|
14.
|
Х |
3.1 |
3.2 |
3.3 |
3.4 |
3.5 |
3.6 |
3.7 |
3.8 |
3.9 |
4.0 |
Y |
1.02 |
2.25 |
3.46 |
4.57 |
5.45 |
6.35 |
7.77 |
8.82 |
9.25 |
10.3 |
|
15.
|
Х |
0.1 |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.5 |
0.6 |
0.7 |
0.8 |
0.9 |
1.0 |
Y |
10.2 |
12.3 |
18.6 |
19.7 |
20.5 |
19.4 |
17.8 |
16.9 |
15.3 |
13.4 |
|
16.
|
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Y |
12.1 |
11.3 |
9.56 |
7.67 |
8.55 |
8.45 |
8.32 |
8.16 |
8.05 |
8.00 |
|
17.
|
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Y |
1.12 |
2.35 |
3.56 |
4.67 |
5.55 |
6.45 |
7.87 |
8.92 |
9.35 |
10.43 |
|
18.
|
Х |
9.1 |
9.0 |
8.9 |
8.8 |
8.7 |
8.6 |
8.5 |
8.4 |
8.3 |
8.2 |
Y |
10.2 |
12.3 |
18.6 |
19.7 |
20.5 |
19.4 |
17.8 |
16.9 |
15.3 |
13.4 |
|
19.
|
Х |
8.1 |
8.0 |
7.9 |
7.8 |
7.7 |
7.6 |
7.5 |
7.4 |
7.3 |
7.2 |
Y |
1.2 |
1.3 |
1.6 |
1.7 |
2.5 |
2.4 |
1.8 |
1.7 |
1.3 |
1.2 |
|
20.
|
Х |
0.1 |
10.2 |
20.3 |
30.4 |
40.5 |
50.6 |
60.7 |
70.8 |
80.9 |
91 |
Y |
4.13 |
9.32 |
12.5 |
17.6 |
21.5 |
25.4 |
29.7 |
30.9 |
35.5 |
40.4 |
|
21. |
Х |
1.1 |
1.2 |
1.3 |
1.4 |
1.5 |
1.6 |
1.7 |
1.8 |
1.9 |
2.0 |
Y |
14.1 |
9.32 |
8.25 |
7.62 |
5.15 |
4.34 |
2.79 |
3.09 |
2.55 |
0.345 |
|
22.
|
Х |
0.1 |
1.2 |
2.3 |
3.4 |
4.5 |
5.6 |
6.7 |
7.8 |
8.9 |
10 |
Y |
5.1 |
9.3 |
13.5 |
17.6 |
21.5 |
25.4 |
29.7 |
31.9 |
36.5 |
40.4 |
|
23.
|
Х |
0.2 |
0.4 |
0.6 |
0.8 |
1.0 |
1.2 |
1.4 |
1.6 |
1.8 |
2.0 |
Y |
24.1 |
19.3 |
12.5 |
7.6 |
2.5 |
0.4 |
2.7 |
8.9 |
15.5 |
24.4 |
|
24.
|
Х |
-4 |
-2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
Y |
4.1 |
9.3 |
8.5 |
12.6 |
10.5 |
15.4 |
19.7 |
17.9 |
25.5 |
24.4 |
|
25.
|
Х |
1.0 |
2.2 |
3.4 |
4.6 |
5.8 |
7.0 |
8.2 |
9.4 |
10.6 |
11.8 |
Y |
5.1 |
8.3 |
9.5 |
17.6 |
19.5 |
25.4 |
26.7 |
30.9 |
32.5 |
40.4 |
|
26.
|
Х |
1.1 |
2.1 |
3.1 |
4.2 |
5.3 |
6.3 |
7.4 |
8.4 |
9.5 |
10.6 |
Y |
3.1 |
9.3 |
10.5 |
17.6 |
19.5 |
25.4 |
27.7 |
30.9 |
31.5 |
41.4 |
|
27.
|
Х |
1.2 |
2.3 |
3.5 |
4.6 |
5.8 |
6.9 |
8.0 |
9.2 |
10.9 |
12.0 |
Y |
2.1 |
8.3 |
11.5 |
16.6 |
22.5 |
26.4 |
29.7 |
33.9 |
38.5 |
42.4 |
|
28.
|
Х |
0.11 |
0.22 |
0.33 |
0.44 |
0.55 |
0.66 |
0.77 |
0.88 |
0.99 |
1.1 |
Y |
3.1 |
8.3 |
11.5 |
16.6 |
20.5 |
24.4 |
28.7 |
30.9 |
34.5 |
41.4 |
|
29.
|
Х |
0.2 |
10.3 |
20.4 |
30.2 |
40.7 |
50.5 |
60.6 |
70.9 |
80.7 |
90.5 |
Y |
14.1 |
19.3 |
22.5 |
27.6 |
31.5 |
35.4 |
39.7 |
40.9 |
45.5 |
50.4 |
|
30.
|
Х |
1.2 |
2.3 |
3.5 |
4.6 |
5.8 |
6.9 |
8.0 |
9.2 |
10.9 |
12.0 |
Y |
14.3 |
19.2 |
22.7 |
27.9 |
31.6 |
35.8 |
39.9 |
41.9 |
45.8 |
52.4 |
|
31.
|
Х |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
Y |
4.0 |
9.2 |
11.5 |
15.6 |
20.5 |
25.3 |
28.7 |
30.7 |
34.4 |
41.2 |
|
32. |
Х |
9.9 |
9.8 |
9.7 |
9.6 |
9.5 |
9.4 |
9.3 |
9.2 |
9.1 |
9.0 |
Y |
3.9 |
8.3 |
12.6 |
17.9 |
21.8 |
26.4 |
29.3 |
31.3 |
36.5 |
39.4 |
|
33.
|
Х |
0.11 |
0.22 |
0.33 |
0.44 |
0.55 |
0.66 |
0.77 |
0.88 |
0.99 |
1.1 |
Y |
22.1 |
19.1 |
12.3 |
7.9 |
2.3 |
0.12 |
-2.7 |
-8.7 |
-15.6 |
-24.8 |
|
34.
|
Х |
0.5 |
1.0 |
2.0 |
3.5 |
4.0 |
5.5 |
6.0 |
7.5 |
8.8 |
9.9 |
Y |
3.1 |
8.3 |
12.5 |
17.6 |
21.5 |
25.4 |
29.7 |
30.9 |
35.5 |
40.4 |
|
35.
|
Х |
0.7 |
1.6 |
2.3 |
3.7 |
4.8 |
5.0 |
6.0 |
7.4 |
8.7 |
9.7 |
Y |
2.1 |
7.3 |
12.5 |
17.6 |
22. |
28.4 |
29.7 |
32.9 |
35.5 |
44.3 |
|
36.
|
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Y |
14.1 |
13.3 |
12.5 |
11.6 |
10.5 |
10.4 |
9.72 |
8.09 |
7.53 |
6.42 |
|
37.
|
Х |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
Y |
114 |
112 |
110 |
111 |
109 |
107 |
108 |
103 |
104 |
100 |
|
38.
|
Х |
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
17 |
19 |
21 |
Y |
115 |
112 |
110 |
111 |
109 |
106 |
105 |
103 |
104 |
100 |
|
39.
|
Х |
3 |
6 |
9 |
12 |
15 |
18 |
21 |
24 |
27 |
30 |
Y |
3.1 |
4.3 |
9.5 |
12.6 |
19.5 |
27.4 |
35.7 |
40.9 |
45.5 |
54.4 |
|
40.
|
Х |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
Y |
54.1 |
49.3 |
32.5 |
27.6 |
11.5 |
5.4 |
19.7 |
20.9 |
25.5 |
30.4 |
|
41. |
Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
Y |
14.1 |
13.3 |
15.5 |
14.6 |
13.5 |
12.4 |
11.7 |
13.9 |
15.5 |
20.4 |
|
42.
|
Х |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
Y |
4.1 |
3.3 |
2.5 |
1.6 |
2.5 |
5.4 |
9.7 |
10.9 |
9.5 |
8.4 |
|
43.
|
Х |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
Y |
12.1 |
19.3 |
31.5 |
27.6 |
25.5 |
26.4 |
29.7 |
30.9 |
35.5 |
40.4 |
|
44. |
Х |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
Y |
7.1 |
9.3 |
12.5 |
17.6 |
21.5 |
15.4 |
12.7 |
10.9 |
5.5 |
0.4 |
Форма записи отчета в лабораторном журнале:
Дата: ___. Занятие № __. Тема: «Анализ данных». Вариант ___.
a) a = 12.33±0.12 b = 0.334±0.009
Коэффициент корреляции R=0.876
б) НП = 1.34*104 Дж/моль; SП=88.8 Дж/(моль*К)
в) Степень полинома (оптимальная) m=4
дисперсия адекватности (минимальная) = 9.36
г) Степень полинома (оптимальная) m=4
дисперсия адекватности (минимальная) = 9.36