Метод парабол Симпсона

Из уравнения (43) при аппроксимирующем полиноме второй степени (n= 2) и, пользуясь данными таблицы, получаем:

(44)

Из этой формулы видно, что для вычисления интеграла требуется вычисление функции в трех точках (в методе трапеций – в двух, а в методе прямоугольников – в одной точке). Переходя к i-тому малому интервалу, имеем:

(45)

После преобразований, приводящих к рационализации вычислений, получаем расчетную формулу Симпсона:

(46)

Метод Симпсона дает имеет минимальные погрешности как по ошибке усечения, так и по ошибке округления, поэтому часто используется реальных расчетах. В связи с этим выведены несколько форм записи уравнения (46). Некоторые из них использованы в программах 17, 18, 19.

По программе 16 можно вычислить точность интегрирования, только дважды сделав расчет при разных (в раза различающихся) N. В программе 17 это делается автоматически (1). Можно также сравнить полученный результат с вычисленным встроенной функцией MathCad c заданной точностью (2), как в программе 17, из которой следует, что обе этих оценки точности оказываются одного порядка и не зависят от шага интегрирования.

Для вычисления интеграла с заданной точностью можно поступить так. Начинают расчет с N=2, потом в 2 раза больше: 4,8,16 и т. д. Сравнивают два последовательно полученных значения интеграла. Если разница меньше заданной точности, то итерационный процесс заканчивают. Если точность не достигнута, то N увеличивают в 2 раза и повторяют расчет. Этот алгоритм применен в программе 18.

Программа 17

Программа 18

Интегрирование с помощью встроенных функций MathCad

Результат численного интегрирования с помощью встроенных функций MathCad зависит от точности вычислений TOL. По умолчанию TOL=0.001. Эту константу можно изменять программно, объявив, например TOL:=0.0001, а можно на соответствующей панели (Математика – Опции – TOL) изменить ее численное значение. Интегрирование, как и многие другие математические действия в MathCad устроено по принципу «как пишется, так и вводится». Знак интеграла (определенный и неопределенный) можно найти на панели исчислений. Останется только заполнить несколько местозаменителей – ввести подынтегральную функцию, пределы интегрирования и переменную интегрирования. Чтобы получить результат интегрирования, следует ввести знак численного равенства. Символьный процессор MathCad может для небольшого круга несложных подынтегральных функций провести точное интегрирование. Для этого вместо знака = надо ввести знак символьных вычислений . Несколько примеров интегрирования приведены в программе 19.

Программа 19

Изменение точности TOL вычислений не приводит к изменению количества значащих цифр в результате. Чтобы изменить формат вывода результата надо обратиться к панели Форматирование – результат… – number of desimal places.

Разработчиками MathCad запрограммированы 4 численных метода интегрирования: Ромберга (Romberg), Адаптивный (Adaptive), Бесконечный предел (Infinite limit), C неопределенностью (Singular Endpoint). Если щелкнуть правой кнопкой мыши по знаку интеграла, то в появившемся окне можно найти отметку какой метод использован по умолчанию. По желанию можно изменить метод расчета. Последнее лучше не делать, оставить выбор за MathCad, т. е. оставить флаг на AutoSelect.

Основные идеи, положенные в основу итерационного алгоритма Ромберга, который применяется для большинства случаев, следующий.

1. Сначала строится несколько интерполирующих полиномов, которые заменяют на интервале интегрирования подынтегральную функцию f(x): прямую, параболу, и т. д.

2. Находят ряд значений интеграла I₁,I₂,I₃… по правилу трапеций, Симпсона, и т. д.

3. Экстраполяцией этой зависимости к нулевому шагу находят J‑тое значение вычисляемого интеграла.

4. Осуществляют переход к новой итерации с помощью более частого разбиения интервала интегрирования и добавлением нового члена интерполирующего полинома (J_N – приближение Ромберга).

5. Выход из итерационного процесса происходит тогда, когда разница между двумя последующими приближениями по абсолютной величине будет меньше TOL.