Розв’язання задач за темою

„Деякі операції з фінансовими контрактами”

Фінансовою рентою називається послідовність платежів, що проводяться через рівні відрізки часу.

R R R R R R

0 1 2 3 n-1 n n число періодів

Сучасна цінність ренти дорівнює сучасній цінності її нарощеної суми (за умови нарахування складних відсотків). Застосовуючи формулу суми геометричної прогресії і формулу (3.3), сучасну цінність ренти виводимо:

РV = S ^-t = R .

Приклад 5.1. Будівельна фірма продала котедж, уклавши контракт, за яким покупець зобов’язався виплачувати щокварталу по 10 000 $ протягом 5 років. Хазяїн фірми, бідуючи в грошах, продає цей контракт банку, який отримує на позичені гроші проценти за ставкою j₄=12%. Яку суму заплатить банк хазяїну фірми за даний контракт?

Розв’язання. Платежі, які банк буде отримувати за контрактом, можна розглядати як ренту, що складається з 20 платежів по 10000 грн. кожний. За цю ренту банк повинен заплатити її сучасну цінність.

Цю цінність можна розрахувати за формулою:

PV = R = R а_n;і,

при R = 10000, п = 20, і = j₄ = 12%/4 = 3%, а_n,і; = можливо розрахувати самостійно, чи скористатися готовою таблицею коефіцієнтів річної ренти, знайшовши відповідне значення а_n;і.

а_{20;3% =} 14,8775.

Підставивши це значення в формулу для PV, отримуємо:

PV = 10000 14,8775 = 148 775 $.

Таким чином, хазяїн фірми, який продав контракт, втрачає суму, що дорівнює

200000-148 775 = 51225 грн.

Але при цьому він отримує гроші негайно. Банк, купуючи контракт, отримує доход, що дорівнює тій же сумі 51 225 грн. Цю суму можна вважати платою за ризик, який несе банк, тому що покупець котеджу може з тих або інших причин припинити виплату боргу.

Приклад 5.2. Фермер купив мотоцикл у кредит за 20000 грн., зобов’язавшись погасити його щомісячними платежами протягом року, виплачуючи при цьому проценти за борг за ставкою j₁₂ = 6%. Хазяїн магазина продав цей контракт фінансовій компанії, яку не задовольняють умови контракту: вона бажає отримувати доход за ставкою j₁₂= 12%. Скільки повинна заплатити компанія за цей контракт?

Розв’язання. Знайдемо величину кожного з 12 платежів, які повинен зробити за укладеним контрактом фермер. Ці платежі створять ренту, що складається з 12 платежів, сучасна цінність якої 20000 грн. Відсоток, що нараховується на кожний платіж, дорівнює 0,5% (ставка відсотку і=j₁₂= 6%/12=0,5%). Величину платежу знайдемо за формулою

R = =

За таблицею (або розрахувавши самостійно, як в попередній задачі) знаходимо a_20;3% = 11,6189.

Підставляючи це значення в формулу, отримуємо:

R = = 1721.33 грн.

Таким чином, фінансова компанія готова купити контракт, що передбачає 12 платежів по 1 721.33 грн. кожний, одержуючи доход за ставкою j₁₂= 12%. Сучасна цінність такого контракту може бути розрахована за формулою при і = 12%/12 = 1%:

PV = R а_{n;і =} 1721,33 а_n;і

За таблицею знаходимо, що а_12;1% = 11,2551. Підставляючи це значення в формулу, одержуємо

PV = 1721,33x11,2551 = 19373,74 грн.

Таким чином, фермер придбав мотоцикл, за який він виплатить

1721,33x12 = 20655,96 грн. Хазяїн магазина, продавши контракт, втрачає суму, що дорівнює

20000 – 19373,74 = 626.26 грн.,

а фінансова компанія одержує протягом року прибуток, що дорівнює

20 655,96 – 19373,74 = 1282,22 грн.

Цей прибуток є премією, яку компанія одержує за ризик втратити гроші у випадку несплати боргу фермером.