6.Дифференциальные уравнения

Нередко возникают задачи, связанные с нахождением некоторой функции. При решении такой задачи может получиться уравнение, связывающее искомую функцию с ее производными и аргументом. Такое уравнение, содержащее производную, называется дифференциальным.

Дифференциальное уравнение, содержащее производную только первого порядка, называется дифференциальным уравнением первого порядка. В дифференциальное уравнение k-го порядка входит k-я производная и могут входить производные низших порядков.

Решением дифференциального уравнения обычно является не одна функция, а целое семейство функций. Решение уравнения записывается в виде формулы, содержащей некоторую константу С или несколько констант в зависимости от порядка уравнения. Такое решение называется общим. Если задать значения констант, получим частное решение. Значения констант можно определить, задав начальные условия, например, значение функции в некоторой точке.

Решением дифференциального уравнения далеко не всегда является функция, которую можно записать в виде y = f(x). Часто решение записывается в неявной форме, то есть в виде уравнения F(x, y) = 0, связывающего х и у, или для общего решения F(x, y, С) = 0. Это уравнение задает на координатной плоскости семейство кривых, каждая из которых является решением дифференциального уравнения. В таком случае х и у рассматриваются как равноправные переменные, но геометрический смысл производной тот же: это угловой коэффициент касательной к кривой в соответствующей точке.

Рассмотрим основные виды дифференциальных уравнений и методы их решения.

1. Уравнения с разделяющимися переменными

К этому типу относятся уравнения вида

если f(x, y) разлагается в произведение двух сомножителей, один из которых зависит только от х, другой только от y: f(x, y) = g(x)h(y). Тогда уравнение преобразуется следующим образом:

;

Интегрируя левую и правую части уравнения, мы рассматриваем х и у как независимые переменные. При интегрировании возникает константа С, которая должна присутствовать в записи общего решения. В зависимости от вида получающегося решения вместо С можно писать ln C для удобства в дальнейших преобразованиях.

Пример 1.6.1. Решить уравнение .

Решение. Производим рекомендованные преобразования:

;

ln y = ln x + ln C;

ln y = ln Cx;

y = Cx.

Общим решением является семейство прямых, проходящих через начало координат.

Строго говоря, при взятии интеграла мы должны были выражения под знаком логарифма писать с модулем: lny = lnx + lnC. Но опускать модуль в данном случае допустимо, так как это не влияет на окончательный результат благодаря константе С.

2. Однородные уравнения

Функция P(x, y) называется однородной степени m, если для всех k выполняется равенство P(kx,ky) = k^mP(x, y).

Например, однородными являются функции x² + 3xy – 5y² (степень 2), или x³ – 5xy² (степень 3).

Дифференциальное уравнение называется однородным, если оно приводится к виду

P(x, y) dx = Q(x, y) dy,

где P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одной степени.

Однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки y = ux, где u – новая функция. При этом получим dy = udx + xdu. Иногда бывает удобнее подстановка x = uy.

Пример 1.6.2. Решить уравнение (x + y)dx = (x – y)dy.

Решение. Производим замену y = ux, dy = udx + xdu:

(x + ux)dx = (x – ux)(udx + xdu);

x(1 + u)dx – x(1 – u) udx = x(1 – u) xdu;

x(1 + u²)dx = x²(1 – u)du;

;